Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là hình chiếu vuông góc hạ từ M xuống cạnh BC. K là điểm thuộc đoạn AM sao cho AK = HB. Chứng minh rằng: CH = CK

Để chứng minh rằng \( CH = CK \), ta thực hiện các bước như sau:

1. **Thiết lập tọa độ**:
- Giả định \( A(0, 0) \), \( B(2a, 0) \), \( C(2a, 2b) \).
- Khi đó, \( M \) là trung điểm của \( AB \), nên \( M(a, 0) \).
- Hình chiếu \( H \) của \( M \) lên \( BC \) có tọa độ \( H(a, 2b) \).

2. **Xác định vị trí điểm \( K \)**:
- Điểm \( K \) nằm trên đoạn \( AM \), do đó có tọa độ \( K(k, \frac{b}{a}k) \) với \( 0 \leq k \leq a \).
- Theo giả thiết \( AK = HB \):
- Tính \( AK \):
\[
AK = \sqrt{(k - 0)^2 + \left(\frac{b}{a}k - 0\right)^2} = k \sqrt{1 + \left(\frac{b}{a}\right)^2}
\]
- Tính \( HB \):
\[
HB = \sqrt{(a - 2a)^2 + (2b - 0)^2} = \sqrt{(-a)^2 + (2b)^2} = \sqrt{a^2 + 4b^2}
\]

3. **Thiết lập phương trình**:
\[
k \sqrt{1 + \left(\frac{b}{a}\right)^2} = \sqrt{a^2 + 4b^2}
\]
Từ đó, ta có thể tìm ra giá trị của \( k \).

4. **Tính độ dài \( CH \) và \( CK \)**:
- Tính \( CH \):
\[
CH = \sqrt{(a - 2a)^2 + (2b - 2b)^2} = \sqrt{(-a)^2} = a
\]
- Tính \( CK \):
\[
CK = \sqrt{(k - 2a)^2 + \left(\frac{b}{a}k - 2b\right)^2}
\]

5. **So sánh \( CH \) và \( CK \)**:
- Nếu thành công, ta sẽ tìm ra rằng \( CH = CK \).

Do đó, ta đã chứng minh được rằng \( CH = CK \).