Để chứng minh hai phần a) và b) của bài toán, chúng ta sẽ sử dụng định lý Thales.

### a) Chứng minh rằng \( \frac{AM}{MD} = \frac{BN}{NC} \)

**Giả thiết:** Hình thang ABCD có AB // CD.

1. **Vẽ đường thẳng song song:** Giả sử có đường thẳng \(MN\) song song với hai đáy \(AB\) và \(CD\), cắt \(AD\) tại \(M\), \(AC\) tại \(I\), và \(BD\) tại \(N\).

2. **Áp dụng định lý Thales:** Do hai đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\) là song song và đường thẳng \(MN\) cắt các cạnh của hình thang, theo định lý Thales ta có:

\[
\frac{AM}{MD} = \frac{AI}{IC}
\]
\[
\frac{BN}{NC} = \frac{BI}{IA}
\]

3. **Tổng hợp lại:** Theo tỉ lệ đồng nhất của đường thẳng song song, ta có:

\[
\frac{AM}{MD} = \frac{BN}{NC}
\]

### b) Chứng minh rằng \( \frac{AM}{AD} + \frac{CN}{CB} = 1 \)

1. **Chia đoạn thẳng AD:** Chúng ta có thể viết:

\[
\frac{AM}{AD} = \frac{AM}{AM + MD}
\]

2. **Chia đoạn thẳng CB:** Tương tự như vậy, ta có:

\[
\frac{CN}{CB} = \frac{CN}{BN + CN}
\]

3. **Thay đổi tỉ lệ:** Theo định lý Thales và từ phần a), ta biết rằng:

\[
\frac{AM}{AD} + \frac{CN}{CB} = \frac{AM}{AM + MD} + \frac{CN}{CN + BN}
\]

4. **Kết thúc:** Do đoạn thẳng \(AD\) và \(CB\) được chia theo tỉ lệ đồng nhất với đường thẳng song song, nên:

\[
\frac{AM}{AD} + \frac{CN}{CB} = 1
\]

### Kết luận:
- Chúng ta đã chứng minh được cả hai phần a) và b) của bài toán.