Để chứng minh rằng \( 10^{28} + 8 \) chia hết cho \( 2013 \), trước tiên ta cần phân tích số \( 2013 \) ra thành các thừa số nguyên tố.

Ta có:
\[
2013 = 3 \times 11 \times 61
\]

Vì vậy, để chứng minh \( 10^{28} + 8 \) chia hết cho \( 2013 \), ta cần chứng minh rằng nó chia hết cho \( 3 \), \( 11 \) và \( 61 \).

**Bước 1: Kiểm tra chia hết cho \( 3 \)**

Ta kiểm tra \( 10^{28} + 8 \) modulo \( 3 \):
\[
10 \equiv 1 \mod 3
\]
Do đó,
\[
10^{28} \equiv 1^{28} \equiv 1 \mod 3
\]
Như vậy,
\[
10^{28} + 8 \equiv 1 + 8 \equiv 9 \equiv 0 \mod 3
\]
Vậy \( 10^{28} + 8 \) chia hết cho \( 3 \).

**Bước 2: Kiểm tra chia hết cho \( 11 \)**

Ta kiểm tra \( 10^{28} + 8 \) modulo \( 11 \):
\[
10 \equiv -1 \mod 11
\]
Do đó,
\[
10^{28} \equiv (-1)^{28} \equiv 1 \mod 11
\]
Như vậy,
\[
10^{28} + 8 \equiv 1 + 8 \equiv 9 \mod 11
\]
Vậy \( 10^{28} + 8 \) không chia hết cho \( 11 \).

**Bước 3: Kiểm tra chia hết cho \( 61 \)**

Ta kiểm tra \( 10^{28} + 8 \) modulo \( 61 \):
Ta tính \( 10^{28} \mod 61 \) theo định lý Fermat, vì \( 61 \) là số nguyên tố:
\[
10^{60} \equiv 1 \mod 61
\]
Do đó, \( 10^{28} \) có thể được tính trực tiếp. Ta sẽ tính dần:
\[
10^1 \equiv 10
\]
\[
10^2 \equiv 100 \mod 61 \equiv 39
\]
\[
10^4 \equiv 39^2 = 1521 \mod 61 \equiv 56
\]
\[
10^8 \equiv 56^2 = 3136 \mod 61 \equiv 32
\]
\[
10^{16} \equiv 32^2 = 1024 \mod 61 \equiv 43
\]
Cuối cùng, ta tính:
\[
10^{28} \equiv 10^{16} \times 10^8 \times 10^4 \equiv 43 \times 32 \times 56 \mod 61
\]
Tính \( 43 \times 32 \equiv 1376 \mod 61 \equiv 17 \) và
\[
17 \times 56 = 952 \mod 61 \equiv 31
\]
Vậy
\[
10^{28} \equiv 31 \mod 61
\]
Do đó,
\[
10^{28} + 8 \equiv 31 + 8 \equiv 39 \mod 61
\]
Vậy \( 10^{28} + 8 \) không chia hết cho \( 61 \).

**Kết luận:**
Vì \( 10^{28} + 8 \) không chia hết cho \( 11 \) và cũng không chia hết cho \( 61 \), nên nó không thể chia hết cho \( 2013 \). Do đó, kết quả là:

\[
10^{28} + 8 \text{ không chia hết cho } 2013.
\]