Để giải bài toán này, ta cần tìm số nguyên \( x \) thoả mãn phương trình:

\[
x + (x+1) + (x+2) + \ldots + 19 + 20 = 20
\]

Để dễ dàng tính toán, ta sẽ tính tổng các số từ \( x \) đến \( 20 \). Tổng các số từ \( x \) đến \( 20 \) có thể được tính bằng công thức tổng số hạng liên tiếp:

\[
\text{Tổng} = \frac{n}{2} \times (\text{số hạng đầu} + \text{số hạng cuối})
\]

Trong đó \( n \) là số lượng các số hạng. Ở đây, số hạng đầu là \( x \) và số hạng cuối là \( 20 \).

Số lượng các số hạng từ \( x \) đến \( 20 \) là:

\[
(20 - x + 1) = 21 - x
\]

Do đó, tổng các số hạng từ \( x \) đến \( 20 \) là:

\[
\text{Tổng} = \frac{21 - x}{2} \times (x + 20)
\]

Chúng ta sẽ đặt phương trình này bằng 20:

\[
\frac{21 - x}{2} \times (x + 20) = 20
\]

Nhân hai bên với 2 để loại bỏ mẫu số:

\[
(21 - x)(x + 20) = 40
\]

Tiến hành nhân hai biểu thức này:

\[
21x + 420 - x^2 - 20x = 40
\]

Đơn giản hoá khai triển:

\[
-x^2 + x + 420 = 40
\]

Chuyển tất cả về một bên:

\[
-x^2 + x + 420 - 40 = 0
\]

\[
-x^2 + x + 380 = 0
\]

Nhân cả phương trình với -1 để dễ xử lý:

\[
x^2 - x - 380 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với \( a = 1, b = -1, c = -380 \), ta có:

\[
b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-380) = 1 + 1520 = 1521
\]

Vậy nghiệm sẽ là:

\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{1521}}{2}
\]

Tính giá trị của \( \sqrt{1521} \):

\[
\sqrt{1521} = 39 \quad (\text{vì } 39^2 = 1521)
\]

Suy ra:

\[
x = \frac{1 \pm 39}{2}
\]

Tính các nghiệm:

1. \( x_1 = \frac{1 + 39}{2} = \frac{40}{2} = 20 \)
2. \( x_2 = \frac{1 - 39}{2} = \frac{-38}{2} = -19 \)

Vậy, hai giá trị của \( x \) là \( 20 \) và \( -19 \).

Chúng ta cần kiểm tra xem cả hai giá trị này có thoả mãn điều kiện của bài toán hay không, đó là tổng các số từ \( x \) đến \( 20 \) phải bằng \( 20 \).

1. Với \( x = 20 \):

Tổng bằng \( 20 \) (chỉ có số 20), thoả mãn.

2. Với \( x = -19 \):

Tổng:

\[
-19 + (-18) + (-17) + \ldots + 19 + 20
\]

Số hạng từ \( -19 \) đến \( 20 \). Tính số hạng là \( 20 - (-19) + 1 = 40 \).

Tổng:

\[
\frac{40}{2} \times (-19 + 20) = 20 \times 1 = 20
\]

Cả hai giá trị \( x = 20 \) và \( x = -19 \) đều thoả mãn nên đáp án của bài toán là:

\[
\boxed{20} \quad \text{và} \quad \boxed{-19}
\]