Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần:

### 1) Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?
Tứ giác ABCD là hình bình hành. Bởi vì:
- A, B, C là ba điểm của tam giác vuông cân tại A.
- O là trung điểm của AC, tức là AO = OC.
- D là điểm đối xứng của B qua O, nên OB = OD và cả hai đoạn này đều có chung đoạn thẳng OA.
Do đó, ABCD có các cạnh đối song song và bằng nhau, nên ABCD là hình bình hành.

### 2) Tứ giác AHCD là hình gì? Vì sao?
Tứ giác AHCD là hình thang. Vì:
- H là chân đường cao từ A, vì vậy AH vuông góc với BC.
- Do D nằm trên tia đối của OB, tức là D nằm phía ngoài của tứ giác ABC.

Vì có hai cạnh (AH và CD) song song và hai cạnh (AC và AH) không song song, nên AHCD là hình thang.

### 3) Tứ giác AOHE là hình gì? Vì sao?
Tứ giác AOHE là hình vuông. Vì:
- O là trung điểm của AC, E là trung điểm của AB.
- AH vuông góc với BC, tức là AH vuông góc với E.
- AO bằng OE vì O là trung điểm.

Bởi vì có bốn cạnh đều bằng nhau và hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau, nên AOHE là hình vuông.

Hy vọng những giải thích trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về các tứ giác trong bài toán!