Để giải phương trình \( x^3 + 8 = 7 \sqrt{8x + 1} \), ta sẽ bắt đầu bằng cách biến đổi phương trình này.

1. **Cách tách phương trình**:

Đầu tiên, ta sẽ đưa 7 căn ra một bên như sau:

\[
\sqrt{8x + 1} = \frac{x^3 + 8}{7}
\]

2. **Bình phương hai vế**:

Tiếp theo, ta sẽ bình phương hai vế để loại bỏ dấu căn:

\[
8x + 1 = \left( \frac{x^3 + 8}{7} \right)^2
\]

Giải thích sẽ là:

\[
8x + 1 = \frac{(x^3 + 8)^2}{49}
\]

3. **Nhân chéo và đưa về một phương trình**:

Nhân chéo cho 49 để loại bỏ mẫu số:

\[
49(8x + 1) = (x^3 + 8)^2
\]

Từ đó ta có:

\[
392x + 49 = (x^3 + 8)(x^3 + 8)
\]

4. **Khai triển bình phương**:

Khai triển \( (x^3 + 8)^2 \):

\[
392x + 49 = x^6 + 16x^3 + 64
\]

5. **Đưa về dạng phương trình bậc 6**:

Đưa mọi thứ về một bên:

\[
x^6 + 16x^3 - 392x + 15 = 0
\]

6. **Tìm nghiệm nguyên**:

Do đây là một phương trình bậc cao, ta có thể thử nghiệm các giá trị nguyên nhỏ:

- Khi \( x = 0 \):

\[
0^6 + 16 \cdot 0^3 - 392 \cdot 0 + 15 = 15 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

- Khi \( x = 1 \):

\[
1^6 + 16 \cdot 1^3 - 392 \cdot 1 + 15 = 1 + 16 - 392 + 15 = -360 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

- Khi \( x = 2 \):

\[
2^6 + 16 \cdot 2^3 - 392 \cdot 2 + 15 = 64 + 128 - 784 + 15 = -577 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

- Khi \( x = 3 \):

\[
3^6 + 16 \cdot 3^3 - 392 \cdot 3 + 15 = 729 + 432 - 1176 + 15 = 0 \quad (\text{là nghiệm})
\]

Như vậy, ta tìm được một nghiệm nguyên \( x = 3 \).

**Kết luận**:
Nghiệm nguyên của phương trình \( x^3 + 8 = 7 \sqrt{8x + 1} \) là \( x = 3 \).