Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( C = \frac{x + 2}{|x|} \) với \( x \) là số nguyên, chúng ta sẽ xem xét hai trường hợp dựa trên dấu của \( x \).

### Trường hợp 1: \( x > 0 \)
Khi \( x \) dương, \( |x| = x \):
\[
C = \frac{x + 2}{x} = 1 + \frac{2}{x}
\]
Khi \( x \) tăng, \( \frac{2}{x} \) giảm. Vì vậy, giá trị của \( C \) sẽ giảm khi \( x \) lớn. Cần xét khi \( x = 1 \) và \( x = 2 \):
- Với \( x = 1 \):
\[
C = 1 + \frac{2}{1} = 3
\]
- Với \( x = 2 \):
\[
C = 1 + \frac{2}{2} = 2
\]

### Trường hợp 2: \( x < 0 \)
Khi \( x \) âm, \( |x| = -x \):
\[
C = \frac{x + 2}{-x} = -1 - \frac{2}{x}
\]
Trong trường hợp này, khi \( x \) giảm (magnitude lớn hơn), giá trị của \( C \) sẽ tăng. Cần xét một vài giá trị âm:
- Với \( x = -1 \):
\[
C = -1 - \frac{2}{-1} = 1
\]
- Với \( x = -2 \):
\[
C = -1 - \frac{2}{-2} = 0
\]
- Với \( x = -3 \) hoặc thấp hơn:
\[
C = -1 - \frac{2}{-3} \approx -0.67 \, (giảm)
\]

### Tổng hợp
- Khi \( x = 1 \): \( C = 3 \)
- Khi \( x = -1 \): \( C = 1 \)

Giá trị lớn nhất của biểu thức \( C \) với \( x \) là số nguyên là:
\[
\boxed{3}
\]