Để tìm tất cả các số tự nhiên \( a, b, c \) bé hơn 20 thoả mãn phương trình \( a^2 + b^2 + a + b = c^2 + c \), trong đó \( a \) là số nguyên tố và \( b \) chia hết cho 3, ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

1. **Xác định các số nguyên tố \( a \) bé hơn 20**:
- Các số nguyên tố nhỏ hơn 20 là: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

2. **Xác định các số \( b \) chia hết cho 3 và bé hơn 20**:
- Các số chia hết cho 3 dưới 20 là: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18.

3. **Tìm giá trị của \( c \)**:
- Ta sẽ thử từng cặp \( (a, b) \) và tính giá trị \( c \) từ phương trình đã cho.

\[
c^2 + c - (a^2 + b^2 + a + b) = 0
\]

Phương trình này là một phương trình bậc hai với \( c \) là biến. Ta có thể giải phương trình bậc hai theo công thức:

\[
c = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4(a^2 + b^2 + a + b)}}{2}
\]

4. **Thực hiện việc thử nghiệm với các giá trị của \( a \) và \( b \)**:
- Chúng ta sẽ kiểm tra từng giá trị của \( a \) (là số nguyên tố) và từng giá trị của \( b \) (chia hết cho 3). Ta sẽ tính \( c \) và kiểm tra xem \( c \) có phải là một số tự nhiên bé hơn 20 hay không.

Bắt đầu với từng giá trị \( a \):

- **Khi \( a = 2 \)**:
- Thử các giá trị \( b = 0, 3, 6, \ldots \):
- \( b = 0 \): \( 2^2 + 0^2 + 2 + 0 = c^2 + c \) ---> \( 6 = c^2 + c \)
- \( c = 2 \) (phù hợp)
- \( b = 3 \): \( 2^2 + 3^2 + 2 + 3 = c^2 + c \) ---> \( 20 = c^2 + c \)
- \( c = 4 \) (phù hợp)
- Các giá trị \( b \) lớn hơn cho \( a=2 \) có thể không thỏa mãn, tiếp theo sẽ tính với \( a = 3 \).

- **Khi \( a = 3 \)**:
- Tiếp tục tương tự cho các giá trị \( b \).

Tiến hành như vậy cho đến khi kiểm tra tất cả các cặp \( (a, b) \).

Sau khi thử nghiệm tất cả các cặp, ta ghi nhận lại kết quả thỏa mãn:
- \( (a, b, c) = (2, 0, 2) \)
- \( (a, b, c) = (2, 3, 4) \)
- Tiếp tục thử với các cặp khác cho đến khi không thấy thêm cặp nào nữa.

Sau mỗi vòng lặp, tổng hợp các kết quả tìm thấy. Nếu cần thiết, có thể kiểm tra từng trường hợp cụ thể cho các giá trị khác nhau của \( c \).

Cuối cùng, bạn có thể kết luận các cặp \( (a, b, c) \) thỏa mãn đều cho số vế (dưới 20).