Để giải bài toán, trước tiên chúng ta cần xác định tọa độ của các đỉnh trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh dài a:

- A(0, 0, 0)
- B(a, 0, 0)
- C(a, a, 0)
- D(0, a, 0)
- A'(0, 0, a)
- B'(a, 0, a)
- C'(a, a, a)
- D'(0, a, a)

**a. Chứng minh: \( \vec{BC} + \vec{DC} + \vec{AA'} = \vec{AC'} \)**

1. **Tính các vectơ:**

- Vecto \( \vec{BC} \):
\[
\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (a, a, 0) - (a, 0, 0) = (0, a, 0)
\]

- Vecto \( \vec{DC} \):
\[
\vec{DC} = \vec{C} - \vec{D} = (a, a, 0) - (0, a, 0) = (a, 0, 0)
\]

- Vecto \( \vec{AA'} \):
\[
\vec{AA'} = \vec{A'} - \vec{A} = (0, 0, a) - (0, 0, 0) = (0, 0, a)
\]

2. **Tính tổng các vectơ:**
\[
\vec{BC} + \vec{DC} + \vec{AA'} = (0, a, 0) + (a, 0, 0) + (0, 0, a)
\]
Cộng từng thành phần:
- Thành phần x: \( 0 + a + 0 = a \)
- Thành phần y: \( a + 0 + 0 = a \)
- Thành phần z: \( 0 + 0 + a = a \)

Vậy:
\[
\vec{BC} + \vec{DC} + \vec{AA'} = (a, a, a)
\]

3. **Tính vecto \( \vec{AC'} \):**
\[
\vec{AC'} = \vec{C'} - \vec{A} = (a, a, a) - (0, 0, 0) = (a, a, a)
\]

4. **Kết luận:**
\[
\vec{BC} + \vec{DC} + \vec{AA'} = \vec{AC'}
\]

**b. Tính độ dài \( |\vec{BC} + \vec{DC} + \vec{AA'}| \)**

Từ phần a, chúng ta đã biết rằng:
\[
\vec{BC} + \vec{DC} + \vec{AA'} = (a, a, a)
\]

Tính độ dài (chuẩn) của vecto này:
\[
|\vec{BC} + \vec{DC} + \vec{AA'}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}
\]

**Kết quả cuối cùng:**
- a) Đã chứng minh rằng \( \vec{BC} + \vec{DC} + \vec{AA'} = \vec{AC'} \).
- b) Độ dài \( |\vec{BC} + \vec{DC} + \vec{AA'}| = a\sqrt{3} \).