Cho n thuộc Z chứng minh n/3+n^2/2+n^2//6 thuộc Z

Để chứng minh rằng biểu thức \( \frac{n}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n^2}{6} \) thuộc \( \mathbb{Z} \) cho mọi \( n \in \mathbb{Z} \), chúng ta sẽ tìm cách biến đổi và đơn giản hóa biểu thức này.

Trước hết, ta sẽ tìm một mẫu số chung để cộng các phân thức. Mẫu số chung của 3, 2 và 6 là 6.

Ta viết lại các phân thức như sau:

\[
\frac{n}{3} = \frac{2n}{6}, \quad \frac{n^2}{2} = \frac{3n^2}{6}, \quad \frac{n^2}{6} = \frac{n^2}{6}
\]

Từ đó, ta cộng các phân thức lại với nhau:

\[
\frac{n}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n^2}{6} = \frac{2n}{6} + \frac{3n^2}{6} + \frac{n^2}{6} = \frac{2n + 3n^2 + n^2}{6} = \frac{2n + 4n^2}{6}
\]

Biểu thức này có thể được viết lại như sau:

\[
\frac{2n + 4n^2}{6} = \frac{2(n + 2n^2)}{6} = \frac{n + 2n^2}{3}
\]

Chúng ta muốn chứng minh rằng \( \frac{n + 2n^2}{3} \) thuộc \( \mathbb{Z} \).

Thực hiện một số phân tích:
- Nếu \( n \) là số nguyên chia hết cho 3 (tức là \( n \equiv 0 \mod 3 \)), thì \( n + 2n^2 \) cũng chia hết cho 3.
- Nếu \( n \equiv 1 \mod 3 \), ta có \( n + 2n^2 \equiv 1 + 2 \equiv 0 \mod 3 \).
- Nếu \( n \equiv 2 \mod 3 \), thì \( n + 2n^2 \equiv 2 + 2 \cdot 1 \equiv 2 + 2 \equiv 1 \mod 3 \).

Từ đó, trong mọi trường hợp \( n \) là số nguyên, thì \( n + 2n^2 \) sẽ luôn được chia hết cho 3.

Vậy kết luận, ta có \( \frac{n + 2n^2}{3} \) là số nguyên, tức là \( \frac{n}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n^2}{6} \in \mathbb{Z} \).

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng:

\[
\frac{n}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n^2}{6} \in \mathbb{Z} \quad \forall n \in \mathbb{Z}
\]