Để phân tích đa thức \( x^3 - y^3 + 3x^2 + 3x + 1 \) thành nhân tử, chúng ta bắt đầu bằng cách nhóm các hạng tử theo cách thuận lợi.

Bước 1: Nhóm các hạng tử:

\[
x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - y^3
\]

Bước 2: Nhận thấy rằng \( x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \) có thể được viết lại theo dạng nhị thức. Chúng ta có thể viết nó dưới dạng:

\[
(x + 1)^3 - y^3
\]

Áp dụng quy tắc của hiệu hai khối lập phương, ta có:

\[
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
\]

Ở đây, \( a = (x + 1) \) và \( b = y \). Do đó:

\[
(x + 1)^3 - y^3 = [(x + 1) - y] \cdot [(x + 1)^2 + (x + 1)y + y^2]
\]

Bước 3: Tính toán các hạng tử trong biểu thức thứ hai:

\[
(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1
\]
\[
(x + 1)y = xy + y
\]

Do đó,

\[
(x + 1)^2 + (x + 1)y + y^2 = x^2 + 2x + 1 + xy + y + y^2
\]
\[
= x^2 + xy + 2x + y + y^2 + 1
\]

Từ đó, phân tích thành nhân tử của đa thức ban đầu là:

\[
(x + 1 - y) \cdot (x^2 + xy + 2x + y + y^2 + 1)
\]

Kết quả cuối cùng:

\[
x^3 - y^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x + 1 - y)(x^2 + xy + 2x + y + y^2 + 1)
\]