Để tìm tập xác định của các hàm số trong bài toán, ta sẽ phân tích từng hàm số một.

### a) \( y = \frac{\sqrt{2x^2 - 1}}{x^2 + 2x + 3} \)
- Điều kiện để hàm số xác định:
1. Căn bậc hai \(\sqrt{2x^2 - 1}\) cần dương hoặc bằng 0:
\[
2x^2 - 1 \geq 0 \implies x^2 \geq \frac{1}{2} \implies x \leq -\frac{1}{\sqrt{2}} \text{ hoặc } x \geq \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
2. Mẫu số khác 0: \(x^2 + 2x + 3 > 0\), hàm bậc hai này luôn dương với mọi giá trị x.

**Tập xác định:** \( D_a = (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}}] \cup [\frac{1}{\sqrt{2}}, +\infty) \)

### b) \( y = \frac{x}{\sqrt{x - \sqrt{x - 6}}} \)
- Điều kiện để hàm số xác định:
1. **Mẫu số khác 0:** \(\sqrt{x - \sqrt{x - 6}} > 0\).
2. Điều kiện cho căn bậc hai:
- \(x - 6 \geq 0 \implies x \geq 6\)
- Tính \(\sqrt{x - 6}\): phải có \(x - \sqrt{x - 6} \geq 0\)
\[
x \geq \sqrt{x - 6} \implies x^2 \geq x - 6 \implies x^2 - x + 6 \geq 0 \text{ (luôn đúng với } x \geq 6)
\]

**Tập xác định:** \( D_b = [6, +\infty) \)

### c) \( y = \sqrt{x + 2 - \sqrt{x + 3}} \)
- Điều kiện để hàm số xác định:
1. \(\sqrt{x + 3} \rightarrow x + 3 \geq 0 \implies x \geq -3\)
2. Căn bậc hai \(\sqrt{x + 2 - \sqrt{x + 3}} \geq 0\):
\[
x + 2 - \sqrt{x + 3} \geq 0 \implies \sqrt{x + 3} \leq x + 2
\]
Bình phương hai vế:
\[
x + 3 \leq (x + 2)^2 \implies x + 3 \leq x^2 + 4x + 4 \implies 0 \leq x^2 + 3x + 1
\]
Phương trình này có nghiệm tại:
\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}
\]
Nghiệm trong khoảng nghiệm \( x \geq -3 \) (tìm ra được nghiệm từ phương trình bậc 2).

**Tập xác định:** \( D_c = \left[-3, \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, +\infty\right) \)

### d) \( y = \begin{cases} \frac{1}{x} & \text{khi } x > 1 \\ \frac{1}{\sqrt{1 - x}} & \text{khi } x < 0 \end{cases} \)
- Điều kiện để hàm số xác định:
1. Khi \(x > 1\): \(y = \frac{1}{x}\) luôn xác định.
2. Khi \(x < 0\): \(1 - x > 0 \implies x < 1\), đồng thời \(x < 0\).

**Tập xác định:** \( D_d = (-\infty, 0) \cup (1, +\infty) \)

### Kết luận:

Tập xác định của các hàm số là:
- \( D_a = (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}}] \cup [\frac{1}{\sqrt{2}}, +\infty) \)
- \( D_b = [6, +\infty) \)
- \( D_c = \left[-3, \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, +\infty\right) \)
- \( D_d = (-\infty, 0) \cup (1, +\infty) \)