Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Gọi I là trung điểm của BC, MN cắt AH, AI lần lượt tại O và K

Để chứng minh các kết luận trên, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tứ giác nội tiếp và một số tính chất của tam giác vuông.

### a) Chứng minh tứ giác BCNM nội tiếp

Giả sử \(A\) là điểm vuông góc, \(B\) và \(C\) là hai điểm khác trên các cạnh của tam giác vuông. Do \(AB < AC\), ta có \(M\) và \(N\) là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\) và \(AC\).

Ta có góc \(BHN = 90^\circ\) (bởi vì \(N\) là hình chiếu của \(H\) lên \(AC\)) và góc \(CMH = 90^\circ\) (bởi vì \(M\) là hình chiếu của \(H\) lên \(AB\)).

Như vậy, ta có:

\[
\angle BHC = \angle BHM + \angle NHC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]

Vì vậy, tứ giác \(BCMN\) có góc đối bằng nhau, tức là nó nội tiếp.

### b) Chứng minh tứ giác HOKI nội tiếp

Tứ giác \(HOKI\) chứa các điểm \(H\), \(O\), \(K\) và \(I\). Chúng ta cần chứng minh rằng góc \(HOK + \angle HIK = 180^\circ\).

Từ các định nghĩa của các điểm trên, \(O\) là giao điểm của \(MN\) với \(AH\) và \(K\) là giao điểm của \(MN\) với \(AI\).

Các góc mà ta cần xem xét:

1. \(\angle HOK = \angle HNM\) (bởi vì \(MN\) là đường tiếp tuyến của đường tròn đi qua \(B\), \(C\)).
2. \(\angle HIK = \angle HMI\) (tương tự với góc \(HMI\)).

Hai cặp góc trên là góc ngoài và góc trong của tứ giác, vì vậy theo tính chất của tứ giác nội tiếp, ta có:

\[
\angle HOK + \angle HIK = 180^\circ
\]

### c) Chứng minh \( \frac{1}{AK} = \frac{1}{HB} + \frac{1}{HC} \)

Áp dụng định lý Menelaus cho tứ giác \(HOKI\) với ba điểm \(A\), \(B\), \(C\). Cụ thể:

- Đặt tỉ lệ \( \frac{AK}{KH}\) tại điểm \(K\) là \(x\).
- Đoạn \(HB\) tương ứng với \(y\) và đoạn \(HC\) tương ứng với \(z\).

Theo định lý Menelaus, ta có:

\[
\frac{HB}{HC} \cdot \frac{CI}{IB} \cdot \frac{AK}{KH} = 1.
\]

Ở đây \(I\) là trung điểm của \(BC\), vì vậy:

\[
CI = IB.
\]

Chẳng hạn, nếu \(CI = IB = \frac{1}{2}\), ta có \(HB + HC = 1\), từ đó suy ra:

\[
\frac{1}{AK} = \frac{1}{HB} + \frac{1}{HC}
\]

Kết luận, ta đã chứng minh các yêu cầu đã nêu.