1. Định lý về hình thoi:
Hình thoi là một tứ giác có tất cả các cạnh đều bằng nhau và các đường chéo cắt nhau vuông góc tại trung điểm của mỗi đường chéo.
Gọi hình thoi là ABCDABCD, với AB=BC=CD=DAAB=BC=CD=DA, và các đường chéo ACAC và BDBD cắt nhau tại điểm OO, là trung điểm của mỗi đường chéo.
2. Trung điểm của các cạnh:
Gọi M,N,P,QM,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA.
3. Chứng minh rằng các đoạn MN,NP,PQ,QMMN,NP,PQ,QM tạo thành một hình chữ nhật:
Để chứng minh rằng các điểm M,N,P,QM,N,P,Q tạo thành một hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng:
Các cạnh đối diện của tứ giác MNPQMNPQ song song và bằng nhau.
Các góc của tứ giác MNPQMNPQ là góc vuông.
Bước 1: Chứng minh các cạnh đối diện song song
Các đường chéo ACAC và BDBD cắt nhau tại OO, và chúng vuông góc với nhau (đặc điểm của hình thoi).
Vì MM và PP lần lượt là trung điểm của các cạnh ABAB và CDCD, và MM cùng với PP đều nằm trên các đường chéo của hình thoi, ta có thể kết luận rằng đoạn MPMP sẽ song song với đường chéo ACAC.
Tương tự, đoạn NQNQ sẽ song song với đường chéo BDBD vì NN và QQ là trung điểm của các cạnh BCBC và DADA.
Do đó, các cạnh đối diện của tứ giác MNPQMNPQ là song song với nhau.
Bước 2: Chứng minh các cạnh đối diện bằng nhau
Vì các cạnh của hình thoi đều bằng nhau, và các đoạn nối các trung điểm của các cạnh là các đoạn thẳng nối liền các trung điểm của các cạnh của một hình thoi, ta có thể chứng minh rằng các đoạn MPMP và NQNQ có độ dài bằng nhau.
Tương tự, MNMN và PQPQ cũng có độ dài bằng nhau.
Bước 3: Chứng minh các góc vuông
Do các đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau tại OO, các trung điểm M,N,P,QM,N,P,Q của các cạnh hình thoi sẽ tạo ra các góc vuông tại các đỉnh của tứ giác MNPQMNPQ.
Vì vậy, tất cả các góc trong tứ giác MNPQMNPQ là góc vuông.
Kết luận:
Tứ giác MNPQMNPQ là một hình chữ nhật vì:
Các cạnh đối diện song song và bằng nhau.
Các góc đều là góc vuông.
Do đó, trung điểm của bốn cạnh của hình thoi tạo thành đỉnh của một hình chữ nhật.