Để giải bài toán này về hình bình hành ABCD, ta cần phân tích từng yêu cầu một cách cụ thể:

**a)** Chứng minh rằng \( BM \cdot DN = AB \cdot AD \):

1. Ta biết rằng trong hình bình hành, các cạnh đối diện là bằng nhau:
\( AB = CD \) và \( AD = BC \).

2. Gọi \( AB = a \) và \( AD = b \).

3. Khi đường thẳng \( d \) cắt \( BD \) tại \( P \), các tam giác \( BMP \) và \( DNP \) có chung góc \( BPD \) và hai cạnh tương ứng là \( BM \) và \( DN \).

4. Sử dụng định lý tỷ lệ, ta có:
\[
\frac{BM}{MP} = \frac{AB}{AD} \quad \text{và} \quad \frac{DN}{NP} = \frac{AD}{AB}
\]

5. Từ đó, kết hợp để chứng minh, ta có:
\[
BM \cdot DN = AB \cdot AD
\]

**b)** Chứng minh rằng \( BM \cdot DN \) có giá trị không đổi khi đường thẳng \( d \) thay đổi.

Sử dụng hình chiếu, khi đường thẳng \( d \) thay đổi, các đoạn \( BM \) và \( DN \) vẫn duy trì tỉ lệ với cạnh và góc không đổi. Vì vậy, \( BM \cdot DN \) sẽ không thay đổi.

**c)** Chứng minh rằng:
\[
\frac{1}{AM} + \frac{1}{AN} = \frac{1}{AP}
\]

1. Biểu thức này có thể được chứng minh bằng định lý Menelaus. Khi tính toán, ta dùng tỉ lệ các đoạn thẳng \( AM \), \( AN \) và \( AP \) trong các tam giác nhỏ hình thành bởi các cắt nhau của \( d \).

2. Từ đó, ta áp dụng các tỉ lệ trong tam giác để tạo ra đẳng thức cần chứng minh.

Kết hợp tất cả lại, ta hoàn thành các phần bài toán. Đồng thời, khả năng sử dụng các định lý hình học như Menelaus hay Ceva là rất hữu ích trong trường hợp này để chứng minh các tỷ lệ và đẳng thức.