Cho đường tròn(O;R), đường kính AB. Từ A kẻ tiếp tuyến Ax. Lấy điểm M trên Ax (M khác A). Từ M dựng tiếp tuyến thứ hai đến đường tròn, cắt đường tròn tại N. Chứng minh 4 điểm A,M,N,O cùng thuộc đường tròn

Để chứng minh các điểm \( A, M, N, O \) cùng thuộc một đường tròn, trước hết chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học.

1. **Xác định các điểm và tính chất**:
- Đường tròn \( O \) có bán kính \( R \) và đường kính \( AB \).
- Từ điểm \( A \), chúng ta kẻ tiếp tuyến \( Ax \) với đường tròn tại điểm \( A \).
- \( M \) là một điểm trên tiếp tuyến \( Ax \) khác \( A \).
- Từ \( M \), ta dựng tiếp tuyến thứ hai đến đường tròn, cắt đường tròn tại điểm \( N \).

2. **Tính chất của tiếp tuyến**:
- Tiếp tuyến tại \( A \) có độ dài bằng \( \sqrt{OM^2 - OA^2} \).
- Vì \( OA \) là bán kính tại điểm \( A \), tức \( OA = R \).

3. **Góc giữa tiếp tuyến và bán kính**:
- Tại điểm tiếp xúc \( A \), ta có \( \angle OAM = 90^\circ \) do tính chất của tiếp tuyến. Tương tự, với tiếp tuyến tại \( N \), ta cũng có \( \angle ONM = 90^\circ \).

4. **Chứng minh tứ giác \( AMNO \)**:
- Ta có \( OA \perp AM \) và \( ON \perp NM \).
- Tứ giác \( AMNO \) sẽ là tứ giác nội tiếp nếu tổng hai góc đối diện của nó bằng \( 180^\circ \).
- Ta có:
\[
\angle AMO + \angle ANO = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ.
\]

5. **Kết luận**:
- Như vậy, từ các tính chất và định lý đã chỉ ra ở trên, tứ giác \( AMNO \) là tứ giác nội tiếp, nghĩa là 4 điểm \( A, M, N, O \) nằm trên cùng một đường tròn.

Vậy ta đã chứng minh được rằng các điểm \( A, M, N, O \) cùng thuộc một đường tròn.