Để tính giới hạn \(\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\cot x} \right)\), trước hết, chúng ta viết lại \(\cot x\):

\[
\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \Rightarrow \frac{1}{\cot x} = \frac{\sin x}{\cos x}
\]

Vậy giới hạn trở thành:

\[
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{\cos x} - \frac{\sin x}{\cos x} \right) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1 - \sin x}{\cos x}
\]

Khi \(x\) tiến tới \(\frac{\pi}{2}\):

- \(\cos x \to 0\)
- \(\sin x \to 1\)

Do đó, viên thức trở thành:

\[
\frac{1 - \sin x}{\cos x} \to \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}
\]

Ta cần áp dụng quy tắc L'Hôpital:

\[
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1 - \sin x}{\cos x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-\cos x}{-\sin x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cot x
\]

Khi \(x \to \frac{\pi}{2}\), \(\cot x \to 0\). Vậy:

\[
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\cot x} \right) = 0
\]

### Bài 3:

Cho hàm số:

\[
f(x) =
\begin{cases}
ax + b, & x \leq 4 \\
\frac{cx - 4}{x^2 - 16}, & x > 4
\end{cases}
\]

Để hàm số liên tục tại \(x = 4\), chúng ta sẽ tìm giới hạn của \(f(x)\) khi \(x\) tiến gần 4 từ cả hai phía (trái và phải).

1. **Giới hạn bên trái**:

\[
\lim_{x \to 4^-} f(x) = a \cdot 4 + b = 4a + b
\]

2. **Giới hạn bên phải**:

\[
\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4} \frac{cx - 4}{x^2 - 16} = \lim_{x \to 4} \frac{cx - 4}{(x - 4)(x + 4)}
\]

Áp dụng quy tắc L'Hôpital:

\[
= \lim_{x \to 4} \frac{c}{2x} = \frac{c}{8}
\]

Để hàm số liên tục tại \(x = 4\), ta có:

\[
4a + b = \frac{c}{8}
\]

Đó là điều kiện cần để hàm số liên tục tại \(x = 4\).