Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện theo hai phần câu a và câu b như sau:

### Câu a: Chứng minh tam giác ABD bằng tam giác ACD

Ta đã biết rằng tam giác ABC là tam giác cân tại A, có nghĩa là \( AB = AC \). Ta sẽ sử dụng một số đặc điểm của phân giác để chỉ ra rằng hai tam giác ABD và ACD bằng nhau.

- Gọi \( D \) là giao điểm của phân giác \( AC \) với \( BC \).
- Do \( D \) là điểm trên BC, nên \( BD \) và \( CD \) lần lượt là hai đoạn thẳng.

Để chứng minh hai tam giác ABD và ACD bằng nhau, ta cần chứng minh:

1. \( AB = AC \) (điều này đúng vì tam giác ABC cân).
2. \( \angle ABD = \angle ACD \): Do tính chất của phân giác, có nghĩa là góc \( ADB \) bằng góc \( ADC \) vì chúng đều là những góc đối diện.
3. \( AD = AD \): Đoạn AD là chung cho cả hai tam giác.

Từ 3 yếu tố trên, ta có thể suy ra rằng:

\[ \Delta ABD \cong \Delta ACD \quad (C tiêu chuẩn = C) \]

### Câu b: Chứng minh D là trung điểm của BC

Từ kết quả của câu a, ta đã chứng minh rằng hai tam giác \( ABD \) và \( ACD \) bằng nhau. Từ đó, ta có thể suy ra:

- Diện tích của tam giác ABD bằng diện tích của tam giác ACD.
- Điều này có nghĩa là chiều dài đoạn \( BD \) sẽ bằng chiều dài đoạn \( CD \).

Do đó:

- \( BD = CD \)

Và vì \( D \) chia đoạn thẳng \( BC \) thành hai đoạn bằng nhau, suy ra \( D \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \).

\(\Rightarrow\) Vậy \( D \) là trung điểm của \( BC \).

### Kết luận

Qua hai phần chứng minh, ta đã hoàn thành yêu cầu bài toán. Hy vọng giải thích này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách chứng minh tam giác và đặc điểm của các đoạn thẳng trong tam giác.