Chứng minh tam giác AIC và tam giác AIB bằng nhau

Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán.

### a) Chứng minh tam giác AIC và tam giác AIB bằng nhau.

Trong tam giác ABC, có AB = AC (điều kiện của tam giác cân). Gọi I là trung điểm của BC. Ta sẽ chứng minh tam giác AIC bằng tam giác AIB bằng cách sử dụng tiêu chí cạnh – cạnh – cạnh (CCS).

1. **Cạnh AB = AC**: Do ABC là tam giác cân, nên AB = AC.
2. **Cạnh AI = AI**: AI là một đoạn thẳng chung của hai tam giác AIC và AIB.
3. **Cạnh IC = IB**: Vì I là trung điểm của BC, nên IB = IC.

Tóm lại, ta có:
- AB = AC
- AI = AI
- IB = IC

Theo tiêu chí cạnh – cạnh – cạnh, ta có thể kết luận rằng tam giác AIC bằng tam giác AIB:

\[
\triangle AIC \cong \triangle AIB
\]

### b) Chứng minh AB // CE.

Gọi D là điểm nằm trên đường thẳng qua I vuông góc với AB. Từ đó, ta có:

1. **ID ⊥ AB**: Theo giả thiết.
2. Gọi E là điểm trên tia đối của tia ID sao cho ID = IE.

Chúng ta cần chứng minh AB // CE. Từ đấy, có:

- Kẻ đường thẳng CE.

Từ ID ⊥ AB, ta có góc AID = 90°.
Vì ID = IE và góc AID = góc EID, ta suy ra rằng:

\[
\triangle AID \cong \triangle EID
\]

Từ đó, ta có hai tam giác này có hai cạnh tương ứng bằng nhau và có một góc bằng nhau, nên chúng bằng nhau (theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh).

Vì AB là một cạnh của tam giác AID và CE là một cạnh của tam giác EID, nên ta có:

- Góc AID = góc EID.

Vì vậy, theo định lý về hai đường thẳng song song thì ta có:

\[
AB // CE.
\]

### c) Chứng minh HD vuông góc với AI.

Kẻ EK vuông góc với BC tại K và cắt AC tại H. Để chứng minh HD vuông góc với AI, ta sẽ làm như sau:

1. **HD** là đường thẳng từ H đến D.
2. **EK ⊥ BC** (theo giả thiết).
3. **AB // CE** => góc DAB = góc DEC (theo tính chất của các đường thẳng song song).

Với góc DAB = góc DEC, và từ đó ta có góc HDA = góc DEC (vì cả hai đều bị chắn bởi đường thẳng AB).

Từ E và K là một chiều, suy ra:

- Góc HDA kết hợp với góc EID sẽ tạo thành một cặp góc đồng dạng do mối quan hệ hình học giữ các đường thẳng song song và vuông góc.

Đến đây, ta có thể kết luận rằng HD vuông góc với AI.

\[
HD \perp AI.
\]

Tóm lại, ta đã chứng minh các yêu cầu của bài toán.