Để tính độ dài các đoạn BD, BE, ED, ta sử dụng định lý phân giác trong và ngoài.

1. **Tính BD**: Sử dụng định lý phân giác trong:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]
Gọi \( BD = x \) và \( DC = y \). Vì \( BD + DC = BC = 7.5 \), ta có:
\[
x + y = 7.5
\]
Theo định lý phân giác:
\[
\frac{x}{y} = \frac{6}{9} \Leftrightarrow 3x = 2y \Leftrightarrow y = \frac{3}{2}x
\]
Thay vào phương trình:
\[
x + \frac{3}{2}x = 7.5 \Rightarrow \frac{5}{2}x = 7.5 \Rightarrow x = 7.5 \cdot \frac{2}{5} = 3 \Rightarrow BD = 3 \, \text{cm}
\]
Từ đó tính được:
\[
DC = 7.5 - 3 = 4.5 \, \text{cm}
\]

2. **Tính BE**: Sử dụng định lý phân giác ngoài:
\[
\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC}
\]
Gọi \( BE = a \) và \( EC = b \). Theo định lý phân giác ngoài:
\[
\frac{a}{b} = \frac{6}{9} \Leftrightarrow 3a = 2b \Rightarrow b = \frac{3}{2}a
\]
Từ đây, ta có:
\[
BE + EC = BC + 2 = 7.5 + 2 = 9.5 \Rightarrow a + \frac{3}{2}a = 9.5 \Rightarrow \frac{5}{2}a = 9.5 \Rightarrow a = 9.5 \cdot \frac{2}{5} = 3.8 \Rightarrow BE = 3.8 \, \text{cm}
\]
Tính được:
\[
EC = 9.5 - 3.8 = 5.7 \, \text{cm}
\]

3. **Tính ED**:
\[
ED = BE + BD = 3.8 + 3 = 6.8 \, \text{cm}
\]

**Kết quả cuối cùng**:
- \( BD = 3 \, \text{cm} \)
- \( BE = 3.8 \, \text{cm} \)
- \( ED = 6.8 \, \text{cm} \)