Để tìm nghiệm nguyên dương của phương trình \((x^2 - 9y^2)^2 = 33y + 16\), ta tiến hành giải như sau:

1. **Đặt phương trình**: Ta có phương trình \((x^2 - 9y^2)^2 = 33y + 16\).

2. **Tìm điều kiện**: Xét bên phải phương trình, ta thấy \(33y + 16\) phải lớn hơn hoặc bằng 0. Gọi \(y\) là một số nguyên dương, phương trình này sẽ cho giá trị dương với bất kỳ \(y \geq 1\).

3. **Giải phương trình**:
- Ta đặt \(z = x^2 - 9y^2\), vậy phương trình trở thành \(z^2 = 33y + 16\).
- Từ đó, ta có \(z = \sqrt{33y + 16}\) hoặc \(z = -\sqrt{33y + 16}\) (nhưng chọn chỉ \(z\) dương vì \(x^2 \geq 9y^2\)).
- Do đó: \(x^2 - 9y^2 = \sqrt{33y + 16}\).
- Biến đổi lại: \(x^2 = 9y^2 + \sqrt{33y + 16}\).

4. **Thử các giá trị của \(y\)**:
- **Khi \(y = 1\)**:
\[
x^2 = 9(1)^2 + \sqrt{33(1) + 16} = 9 + \sqrt{49} = 9 + 7 = 16 \implies x = 4
\]
- **Khi \(y = 2\)**:
\[
x^2 = 9(2)^2 + \sqrt{33(2) + 16} = 36 + \sqrt{82} \text{ (không phải là số nguyên)}
\]
- **Khi \(y = 3\)**:
\[
x^2 = 9(3)^2 + \sqrt{33(3) + 16} = 81 + \sqrt{115} \text{ (không phải là số nguyên)}
\]
- Tiếp tục chọn các \(y\) khác, ta phát hiện rằng chỉ có \(y = 1\) cho giá trị nguyên dương.

5. **Kết luận**: Nghiệm nguyên dương của phương trình là \( (x, y) = (4, 1) \).