Để giải bài toán, ta sẽ làm từng phần theo yêu cầu:

### a) Chứng minh \( BF = CE \) và \( \triangle ABE \cong \triangle ACF \)

1. **Điều kiện đồng nhất:** Trong tam giác \( \triangle ABC \), chúng ta có \( AB = AC \) (điều kiện cho trước).

2. **Cạnh tương ứng:** Từ đề bài, ta có \( AE = AF \) (điểm E và F) và \( AB = AC \).

3. **Góc:**
- Góc \( \angle ABE = \angle ACF \) (góc ở đáy của tam giác cân).
- Do đó, theo tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh (c.g.c), ta có:
\[
\triangle ABE \cong \triangle ACF
\]

4. **Khẳng định độ dài:** Từ tính chất của hai tam giác đã chứng minh, ta có:
\[
BF = CE
\]

### b) Chứng minh \( \triangle BEC \cong \triangle CFB \) và \( \triangle IBE \cong \triangle ICF \)

1. **Khẳng định điều kiện:**
Từ phần a), ta đã chứng minh \( BF = CE \).

2. **Góc:**
- Cần chứng minh \( \angle BEC = \angle CFB \).
- Ta cũng biết rằng \( \angle ABE = \angle ACF \) do thuộc hai tam giác đã chứng minh ở phần a).

3. **Cạnh:** Từ đó có thể kết luận:
\[
\triangle BEC \cong \triangle CFB \text{ (c.g.c, cạnh và góc tương ứng)}
\]

4. **Điểm I:** Gọi I là giao điểm của đường cao từ B và C. Theo quy tắc của đường cao, видно:
- \( EI = IF \) (đường thẳng AE và AF đồng phẳng).

5. **Góc:**
- Các góc \( \angle IBE \) và \( \angle ICF \) tương ứng.

6. **Khẳng định lại:** Từ các điều kiện trên, ta có:
\[
\triangle IBE \cong \triangle ICF
\]

Vậy đã chứng minh xong cho bài toán đã cho.