Để giải bài toán này, ta dựa trên các tính chất của tam giác và công thức hình học.

### a) Chứng minh \(\triangle ABD = \triangle AED\)

- Ta có:
- \(AB = AE\) (do đề bài cho AE = AB)
- \(AD\) là phân giác của góc \(\angle BAC\), suy ra \(\angle BAD = \angle DAE\)
- \(BD = DE\) (do đoạn \(AD\) là phân giác và các cạnh là tương ứng)

Vậy ta có:
- \(\triangle ABD \sim \triangle AED\) do hai cặp cạnh và một cặp góc tương ứng.

### b) Chứng minh \(FB = CE\) và \(FBD = CED\)

1. **Chứng minh \(FB = CE\):**
- Từ điều kiện đã cho, có \(AF = AC\) mà \(AC = AB + BC\), từ đó \(FB = AF - AB = AC - AB = BC\).
- Tương tự, bởi \(AE = AB\) nên \(CE = AC - AE = AC - AB = BC\).
- Suy ra \(FB = CE\).

2. **Chứng minh \(FBD = CED\):**
- Ta đã biết rằng \(FB = CE\).
- Các cặp góc \( \angle FBD\) và \(\angle CED\) cũng bằng nhau vì \(D\) là điểm trên phân giác.
- Vậy, ta có \(FBD \sim CED\) do hai cặp cạnh tương ứng và một cặp góc tương ứng.

### c) Ba điểm \(F, D, E\) thẳng hàng

- Để chứng minh ba điểm \(F, D, E\) thẳng hàng, ta sử dụng tính chất của các đoạn thẳng trong tam giác:
- Từ tam giác \(ABD\) và \(AED\), vì \(AD\) là phân giác và \(AE = AB\), \(AF = AC\), suy ra rằng \(D\) sẽ nằm trên đường thẳng kéo dài giữa \(F\) và \(E\).

### Kết luận

Vậy theo các bước trên, ta có thể kết luận rằng:
- \(\triangle ABD = \triangle AED\),
- \(FB = CE\) và \(FBD = CED\),
- Ba điểm \(F, D, E\) thẳng hàng.