Để tìm giá trị của \( m \) sao cho góc giữa hai vector \( \mathbf{a} = (3m, 4m - 1) \) và \( \mathbf{b} = (\sqrt{2}, \sqrt{2}) \) bằng 45 độ, chúng ta sẽ sử dụng công thức liên quan đến cos của góc giữa hai vector.

Góc giữa hai vector \( \mathbf{a} \) và \( \mathbf{b} \) được tính theo công thức:

\[
\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}
\]

Trong trường hợp này, \( \theta = 45^\circ \), do đó:

\[
\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]

Chúng ta cần tính tích vô hướng của \( \mathbf{a} \) và \( \mathbf{b} \), cùng với độ dài của chúng.

1. **Tính tích vô hướng \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \)**:

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (3m)(\sqrt{2}) + (4m - 1)(\sqrt{2}) = \sqrt{2}(3m + 4m - 1) = \sqrt{2}(7m - 1)
\]

2. **Tính độ dài của \( \mathbf{a} \)** và \( \mathbf{b} \):

\[
|\mathbf{a}| = \sqrt{(3m)^2 + (4m - 1)^2} = \sqrt{9m^2 + (16m^2 - 8m + 1)} = \sqrt{25m^2 - 8m + 1}
\]

\[
|\mathbf{b}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2
\]

3. **Áp dụng công thức:**

Ta có

\[
\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} = \frac{\sqrt{2}(7m - 1)}{2 \sqrt{25m^2 - 8m + 1}}
\]

Do đó, ta có phương trình:

\[
\frac{\sqrt{2}(7m - 1)}{2 \sqrt{25m^2 - 8m + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]

4. **Giải phương trình:**

Giải phương trình trên, ta nhân chéo:

\[
\sqrt{2}(7m - 1) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{25m^2 - 8m + 1}
\]

\[
\sqrt{2}(7m - 1) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{25m^2 - 8m + 1}
\]

\[
\sqrt{2}(7m - 1) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{25m^2 - 8m + 1}
\]

Ta chia cả hai vế cho \( \sqrt{2} \) (vì \( \sqrt{2} \neq 0 \)):

\[
7m - 1 = \sqrt{25m^2 - 8m + 1}
\]

5. **Bình phương hai bên:**

\[
(7m - 1)^2 = 25m^2 - 8m + 1
\]

\[
49m^2 - 14m + 1 = 25m^2 - 8m + 1
\]

\[
49m^2 - 25m^2 - 14m + 8m = 0
\]

\[
24m^2 - 6m = 0
\]

\[
6m(4m - 1) = 0
\]

Nên:

\[
m = 0 \quad \text{hoặc} \quad m = \frac{1}{4}
\]

Vậy, các giá trị của \( m \) để góc giữa hai vector \( \mathbf{a} \) và \( \mathbf{b} \) bằng 45 độ là:

\[
m = 0 \quad \text{hoặc} \quad m = \frac{1}{4}
\]