Cho tam giác ABC. Lấy I là điểm chính giữa cạnh AC. Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BN =2/5 BC. Các đoạn AN và BI cắt nhau tại M. Nối MC, NI. Biết AN=14 cm. Tính độ dài đoạn MN

Để giải bài toán này, ta sẽ bước qua các bước sau:

1. **Thiết lập các điểm và đoạn thẳng**:
- Cho tam giác ABC với I là trung điểm của AC.
- Điểm N nằm trên cạnh BC sao cho \(\frac{BN}{BC} = \frac{2}{5}\). Vậy \(BN = \frac{2}{5} BC\) và \(NC = \frac{3}{5} BC\).
- Đoạn thẳng AN có độ dài là 14 cm.

2. **Sử dụng tỷ lệ để tính toán**:
- Gọi \(B\) ở tọa độ (0, 0), \(C\) ở tọa độ (5, 0) (giả sử chiều dài cạnh BC = 5m).
- Do đó, \(N\) sẽ ở tọa độ \((2, 0)\) vì \(BN = \frac{2}{5} \times 5 = 2\) cm.
- Tọa độ điểm A có thể được giả định là \((x_A, y_A)\).

3. **Tính toán để xác định vị trí điểm I**:
- Vì I là trung điểm AC, tọa độ điểm I là \(\left(\frac{x_A + 5}{2}, \frac{y_A + 0}{2}\right) = \left(\frac{x_A + 5}{2}, \frac{y_A}{2}\right)\).

4. **Tìm phương trình các đoạn thẳng AN và BI**:
- Phương trình đoạn thẳng AN có thể viết từ A xuống N.
- Phương trình đoạn thẳng BI có thể viết từ B xuống I.
- Dùng tọa độ điểm A và tọa độ I, ta có thể xác định phương trình của các đoạn thẳng này.

5. **Xác định tọa độ giao điểm M**:
- Giải các phương trình để tìm được tọa độ giao điểm M.

6. **Tính đoạn thẳng MN**:
- Tọa độ N đã biết, tọa độ M cũng có thể tìm ra từ bước trên, từ đó ta có thể tính được độ dài đoạn thẳng MN bằng công thức khoảng cách.

### Lưu ý
- Để thực hiện các tính toán trên, cần có đầy đủ các thông số tọa độ của điểm A (x_A, y_A).
- Bài toán có thể yêu cầu vẽ hình để dễ dàng hình dung hơn, từ đó áp dụng được thuyết lượng giác hoặc hình học phẳng.
- Nếu có bất kỳ thông tin nào còn thiếu, bạn cần cung cấp thêm để có thể tính toán chính xác hơn.

Nếu cần một ví dụ cụ thể hoặc giải chi tiết hơn, làm ơn cung cấp thông số cụ thể hơn về tam giác ABC.