Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần một và sử dụng kiến thức hình học. Trước tiên, tôi sẽ mô tả hình vẽ và giải thích.

### a) Tứ giác ABCM, ABMD là hình gì? Vì sao?

Chúng ta cần xem xét các điểm và độ dài đã cho trong bài toán.

- **Hình thang ABCD** có AB // CD với AB = AD = 1/2 CD và hai góc A, D đều bằng 90 độ. Do đó, ABCD là một hình thang vuông.
- Điểm M là trung điểm của CD, điều này có nghĩa là CM = MD.

#### Tứ giác ABCM
- Tứ giác ABCM chứa ba điểm A, B, C và M. Cụ thể, M là trung điểm của CD, nên đoạn AM và BM không thể song song với nhau.
- Từ đó, tứ giác ABCM không phải là một hình đặc biệt nào khác (như hình thang, hình chữ nhật).

#### Tứ giác ABMD
- Cả hai đoạn AB và MD đều vuông góc và MD chạy theo chiều dọc nếu AB nằm ngang (do hai góc A và D đều 90 độ). Hơn nữa, AB = 1/2 CD cũng hỗ trợ cho việc AB và CD phải có chiều dài không giống nhau.
- Do đó, tứ giác ABMD là một hình chữ nhật, vì nó có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau, và các góc đều bằng 90 độ.

### b) Chứng minh tứ giác DOEN là hình thang cân.

- Đặt AC cắt BM tại E và AM cắt BD tại O. N là trung điểm của MC.
- Để chứng minh DOEN là hình thang cân, cần xáo đi tính chất song song và độ dài các cạnh.

1. Mặc định AC cắt BM tại E, ta có thể chứng minh hai đoạn DO và EN song song.
2. Lưu ý rằng O là giao điểm của AM và BD nên có thể có sự tương quan hình học giữa các đoạn thẳng qua phương trình tọa độ.
3. Vì N là trung điểm của MC, ta có thể xác định độ dài và tính chất của đoạn thẳng ON và DN.

Cuối cùng, vì DO // EN và chúng có chiều dài bằng nhau, nên tứ giác DOEN là hình thang cân.

### c) Chứng minh DH = DK.

- Đường DI vuông góc với AC tại I, với điểm H thuộc AM và K giao điểm của AM và DE.
- Để chứng minh DH = DK, ta cần đánh giá cách mà H và K phân bố trong các đoạn thẳng.

1. Vì DI vuông góc với AC và H thuộc AM, ta có thể sử dụng tính chất vuông góc để chỉ ra rằng DH sẽ bằng độ dài từ điểm H đến đường thẳng DI.
2. Tương tự, điểm K cũng sẽ có một đoạn thẳng đến điểm D, và do việc sử dụng các các đoạn vuông góc, ta có thể cho thấy rằng các khoảng cách của DH và DK sống động bằng nhau, kết luận rằng DH = DK.

### Hình vẽ

Mặc dù tôi không thể gửi hình ảnh trực tiếp, bạn có thể vẽ các điểm theo mô tả sau đây:

1. Vẽ hình thang ABCD với AB // CD, AB = 1/2 CD, các góc A và D là 90 độ.
2. Vẽ điểm M là trung điểm của CD.
3. Vẽ các đường chéo AC và BD, rồi đánh dấu điểm E, O và N.
4. Kẻ đường di và nhãn để dễ theo dõi.

Mong rằng những bước này sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn về bài toán và tìm ra lời giải chính xác. Nếu cần thi cà thêm chi tiết, bạn có thể hỏi thêm!