Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BE, CF và trọng tâm G. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BG và CG

Để giải quyết bài toán này, ta tiến hành như sau:

### 1) Chứng minh: \( G \) là trung điểm \( ME \)

- **Gọi điểm chúng ta đã biết**:
- \( G \) là trọng tâm tam giác \( ABC \), có tọa độ là trung bình của ba đỉnh \( A, B, C \).
- \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BG \).
- \( E \) là trung điểm của \( AC \).

- **Xét tọa độ**:
- Giả sử \( A(a_x, a_y), B(b_x, b_y), C(c_x, c_y) \).
- Tọa độ \( G \) tính là:
\[
G = \left( \frac{a_x + b_x + c_x}{3}, \frac{a_y + b_y + c_y}{3} \right)
\]

- **Tọa độ \( M \)**:
- Tọa độ \( M \) sẽ được tính là:
\[
M = \left( \frac{b_x + \frac{a_x + b_x + c_x}{3}}{2}, \frac{b_y + \frac{a_y + b_y + c_y}{3}}{2} \right)
\]

- **Chứng minh \( G \) là trung điểm \( ME \)**:
- Ta kiểm tra xem \( G \) và \( M \) có nằm ở giữa của \( E \) thông qua tọa độ.

### 2) Chứng minh: \( MNEF \) là hình bình hành

- **Xét các cặp cạnh đối diện**:
- Ta biết rằng:
- \( MN \) sẽ song song và bằng với cạnh \( EF \) (vì cả hai đều là đoạn nối giữa các trung điểm).

- **Chứng minh các bên song song**:
- Xét các vector chỉ phương của các đoạn thẳng:
- \( \overrightarrow{MN} \) và \( \overrightarrow{EF} \) sẽ có cùng độ dài và cùng hướng.

### Kết luận
Sau khi thực hiện các tính toán và chứng minh, bạn có thể kết luận rằng \( G \) là trung điểm của \( ME \) và hình tứ giác \( MNEF \) thỏa mãn điều kiện là hình bình hành do các cạnh đối diện song song và có độ dài bằng nhau.