Cho tam giác ABC vuông tại A có trọng tâm G, M là trung điểm của BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của G trên AB, AC. Chứng minh rằng

Để chứng minh các tính chất trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \) với trọng tâm \( G \) và hình chiếu của \( G \) trên các cạnh \( AB \) và \( AC \), ta tiến hành như sau:

### a) Chứng minh \( DE = \frac{1}{3} BC \)

Trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \), về địa lý:

- Trọng tâm \( G \) của tam giác có tọa độ \( G = \left( \frac{A_x + B_x + C_x}{3}, \frac{A_y + B_y + C_y}{3} \right) \).
- Trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( BC \) có tọa độ \( M = \left( \frac{B_x + C_x}{2}, \frac{B_y + C_y}{2} \right) \).

Hãy gọi tọa độ:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(b, 0) \)
- \( C(0, c) \)

Từ đó, tọa độ trọng tâm \( G \) sẽ là:
\[
G = \left( \frac{0 + b + 0}{3}, \frac{0 + 0 + c}{3} \right) = \left( \frac{b}{3}, \frac{c}{3} \right)
\]

Khi đó, \( M = \left( \frac{b + 0}{2}, \frac{0 + c}{2} \right) = \left( \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right) \).

Để tính độ dài \( DE \), ta biết rằng hình chiếu \( D \) của \( G \) trên \( AB \) có tọa độ \( D \left( \frac{b}{3}, 0 \right) \) và hình chiếu \( E \) của \( G \) trên \( AC \) có tọa độ \( E \left( 0, \frac{c}{3} \right) \).

Khi đó, độ dài \( DE \) được tính như sau:
\[
DE = \sqrt{ \left( \frac{b}{3} - 0 \right)^2 + \left( 0 - \frac{c}{3} \right)^2 } = \sqrt{ \left( \frac{b}{3} \right)^2 + \left( \frac{c}{3} \right)^2 } = \frac{1}{3} \sqrt{b^2 + c^2}
\]
Vì \( BC = \sqrt{b^2 + c^2} \), do đó:
\[
DE = \frac{1}{3} BC
\]

### b) Chứng minh \( DE \parallel BC \)

Để chứng minh \( DE \parallel BC \), ta cần xem xét hệ số độ dốc của các đoạn thẳng:
- Độ dốc của \( BC \):
\[
\text{Độ dốc của } BC = \frac{c - 0}{0 - b} = -\frac{c}{b}
\]
- Độ dốc của \( DE \):
\[
\text{Độ dốc của } DE = \frac{\frac{c}{3} - 0}{0 - \frac{b}{3}} = -\frac{c}{b}
\]

Vì cả hai độ dốc đều bằng nhau, ta có \( DE \parallel BC \).

### c) Chứng minh \( AB = 3AD \) và \( AC = 3AE \)

Ta tính độ dài các đoạn thẳng \( AB \) và \( AC \):
- Đoạn \( AB = b \)
- Đoạn \( AC = c \)

Xét đoạn \( AD \):
\[
AD = |AG_y| = \text{tọa độ } G_y = \frac{c}{3}
\]
Vì vậy:
\[
AB = 3AD \implies b = 3 \cdot \frac{c}{3} \implies b = c
\]

Xét đoạn \( AE \):
\[
AE = |AG_x| = \text{tọa độ } G_x = \frac{b}{3}
\]
Vì vậy:
\[
AC = 3AE \implies c = 3 \cdot \frac{b}{3} \implies c = b
\]

Như vậy, từ \( AB = 3AD \) và \( AC = 3AE \) đều được chứng minh.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh cả ba yêu cầu:
a) \( DE = \frac{1}{3} BC \);
b) \( DE \parallel BC \);
c) \( AB = 3AD \) và \( AC = 3AE \).