Khi xem xét một tam giác đều với điều kiện \( BA = BC \), ta có thể suy ra một số tính chất và mối quan hệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác.

1. **Mảnh b chính (M là trung điểm của AC):**
Vì \( M \) là trung điểm của \( AC \), nên ta có:
\[
AM = MC
\]
Do \( BA = BC \), tam giác \( BAM \) và \( BCM \) sẽ có các cạnh tương ứng bằng nhau:
- Cạnh \( AM = MC \)
- Cạnh \( BM \) là cạnh chung.

Như vậy, theo tiêu chuẩn của tam giác, ta có:
\[
\text{Tam giác } BAM \cong \text{Tam giác } BCM
\]
Dấu hiệu chứng minh đồng dạng 3 cạnh (SAS).

2. **Mảnh b (Kẻ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với BC):**
Khi kẻ \( ME \) vuông góc với \( AB \) và \( MF \) vuông góc với \( BC \), ta nhận thấy rằng:
- \( BM \) là cạnh chung giữa hai tam giác.
- Góc \( AME \) là góc vuông.
- Góc \( BMF \) là góc vuông.

Từ đó, theo tiêu chuẩn đồng dạng (góc góc cạnh):
\[
\text{Tam giác } EMB \cong \text{Tam giác } FMB
\]

3. **Mảnh c (CM BM vuông góc EF):**
Trong trường hợp này, chúng ta có:
- Các điểm \( E \) và \( F \) được kẻ vuông góc từ \( M \) tới \( AB \) và \( BC \).
- Điểm \( M \) là trung điểm của đoạn \( AC \) vì vậy, \( BM \) sẽ đi qua \( E \) và \( F \).

Gọi \( N \) là giao điểm của \( BM \) với \( EF \). Do đó, bởi tính chất của tam giác và điểm \( M \):
\[
BM \text{ vuông góc với } EF,
\]
vì \( ME \perp AB \) và \( MF \perp BC\).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh:

a) Các tam giác \( BAM \) và \( BCM \) là bằng nhau.
b) Các tam giác \( EMB \) và \( FMB \) là bằng nhau.
c) Đoạn \( BM \) vuông góc với \( EF \).