Để chứng minh rằng 4 điểm \( A, B, C, D \) cùng thuộc một đường tròn và so sánh \( BD \) với \( AC \), ta có thể thực hiện như sau:

### a) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

1. **Đặc điểm của tam giác vuông**: Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất và đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông chính là cạnh huyền. Ta có:
- Trong tam giác vuông \( ABC \), \( AC \) là cạnh huyền.
- Trong tam giác vuông \( ADC \), \( AC \) cũng là cạnh huyền.

2. **Cạnh huyền chung**: Vì cả hai tam giác đều có cùng cạnh huyền \( AC \), nên đường tròn ngoại tiếp của cả hai tam giác sẽ có đường kính là \( AC \).

3. **Điểm B và D**: Do đó, điểm \( B \) và \( D \) lần lượt là các đỉnh đối diện với cạnh huyền \( AC \) trong hai tam giác vuông, dẫn đến:
\[
\angle ABC = 90^\circ \quad \text{và} \quad \angle ADC = 90^\circ
\]

4. **Kết luận**: Bởi vì \( \angle ABC \) và \( \angle ADC \) đều là các góc vuông, ta có thể kết luận rằng 4 điểm \( A, B, C, D \) cùng thuộc một đường tròn (theo định lý về mặt phẳng: các điểm thỏa mãn điều kiện như vậy luôn nằm trên một đường tròn).

### b) So sánh \( BD \) và \( AC \)

- **Tam giác vuông**: Khi xét 2 tam giác vuông \( ABC \) và \( ADC \):
- Ta có:
\[
AB^2 + BC^2 = AC^2
\]
\[
AD^2 + DC^2 = AC^2
\]

- **Hệ quả**: Theo định lý Pythagore, từ cả hai tam giác ta thấy rằng hai đoạn thẳng \( AB \) và \( AD \) có tổng bình phương bằng bình phương của cạnh huyền \( AC \). Do đó, \( BD \), là đoạn nối giữa hai điểm \( B \) và \( D \), không thể dài hơn cạnh huyền \( AC \).

- **Kết luận**: Ta có thể kết luận rằng:
\[
BD < AC
\]

### Tóm tắt

- 4 điểm \( A, B, C, D \) cùng thuộc một đường tròn do các góc vuông được tạo ra bởi cạnh huyền chung.
- Đoạn thẳng \( BD \) nhỏ hơn đoạn thẳng \( AC \).