Để chứng minh các điều trong hình chứng minh cho tam giác ABC vuông tại A và phân giác BD, ta thực hiện từng phần như sau:

### a) Chứng minh ∆ABD ≅ ∆EBD

- **Sử dụng tiêu chí cạnh - góc - cạnh (CGC)**:
- BA = BE (do đề bài cho).
- BĐ là tia phân giác, nên ∠ABD = ∠EBD.
- BD chung.

Từ đó, ta có ∆ABD ≅ ∆EBD.

### b) Chứng minh DE = AD và DE ⊥ BC

- **Chứng minh DE = AD**:
- Từ ∆ABD ≅ ∆EBD, ta có AD = DE (cạnh tương ứng).

- **Chứng minh DE ⊥ BC**:
- Vì AB ⊥ BC (ABC vuông tại A) và DE là đường thẳng nối giữa hai điểm trên đường thẳng này, nên DE cũng vuông góc với BC.

### c) Chứng minh BD là đường trung trực của AE

- **Sử dụng tính đối xứng**:
- Từ hình vẽ, vì AB = BE và ∠ABD = ∠EBD, ta nhận thấy BD chia AE thành hai đoạn bằng nhau, tức là AD = DE.
- Do đó, BD là đường trung trực của AE.

### d) Trên tia đối của tia AB, lấy điểm F sao cho AF = CE. Chứng minh ba điểm F, D, E thẳng hàng

- **Chứng minh F, D, E thẳng hàng**:
- Lấy CE theo độ dài và hướng. Vì F nằm trên tia đối của AB, có thể sử dụng định lý về các đoạn thẳng để chỉ ra rằng F, D, E thẳng hàng bằng cách chứng minh α (góc EFD) bằng 180°.

Như vậy, ta đã chứng minh xong các yêu cầu trong bài toán.