Để chứng minh tứ giác \( MNPQ \) là hình chữ nhật, ta có thể thực hiện theo các bước sau:

### Bước 1: Đặt tọa độ cho các điểm

Giả sử:
- \( A(0, h) \)
- \( B(0, 0) \)
- \( C(a, 0) \)
- \( D(a, h) \)

Tọa độ các điểm trung điểm sẽ là:
- \( M \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{h + 0}{2} \right) = \left( 0, \frac{h}{2} \right) \)
- \( N \left( \frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \)
- \( P \left( \frac{a + a}{2}, \frac{h + 0}{2} \right) = \left( a, \frac{h}{2} \right) \)
- \( Q \left( \frac{a + 0}{2}, \frac{h + h}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, h \right) \)

### Bước 2: Tính độ dài các cạnh

- Độ dài đoạn \( MN \):
\[
MN = \sqrt{\left( 0 - \frac{a}{2} \right)^2 + \left( \frac{h}{2} - 0 \right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{h^2}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + h^2}
\]

- Độ dài đoạn \( NP \):
\[
NP = \sqrt{\left( \frac{a}{2} - a \right)^2 + \left( 0 - \frac{h}{2} \right)^2} = \sqrt{\left( -\frac{a}{2} \right)^2 + \left( -\frac{h}{2} \right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + h^2}
\]

- Độ dài đoạn \( PQ \):
\[
PQ = \sqrt{\left( a - \frac{a}{2} \right)^2 + \left( \frac{h}{2} - h \right)^2} = \sqrt{\left( \frac{a}{2} \right)^2 + \left( -\frac{h}{2} \right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + h^2}
\]

- Độ dài đoạn \( QM \):
\[
QM = \sqrt{\left( \frac{a}{2} - 0 \right)^2 + \left( h - \frac{h}{2} \right)^2} = \sqrt{\left( \frac{a}{2} \right)^2 + \left( \frac{h}{2} \right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + h^2}
\]

### Bước 3: Chứng minh các góc vuông

Để chứng minh \( MNPQ \) là hình chữ nhật, ta cần chứng minh \( MN \perp NP \).

- Tính hệ số góc của các đoạn thẳng:
- Hệ số góc \( MN \):
\[
k_{MN} = \frac{\frac{h}{2} - 0}{0 - \frac{a}{2}} = -\frac{h}{a}
\]

- Hệ số góc \( NP \):
\[
k_{NP} = \frac{\frac{h}{2} - 0}{a - \frac{a}{2}} = \frac{h}{\frac{a}{2}} = \frac{2h}{a}
\]

### Kết luận:

Vì \( k_{MN} \cdot k_{NP} = -1 \), nên có \( MN \perp NP \).

Tương tự, có thể chứng minh rằng các cặp cạnh \( NP \) và \( PQ \), \( PQ \) và \( QM \), \( QM \) và \( MN \) cũng vuông góc với nhau.

Từ đó, kết luận rằng \( MNPQ \) là hình chữ nhật.