Để chứng minh các kết quả yêu cầu trong bài toán, trước tiên ta sẽ xây dựng lại hình vẽ cho tam giác ABC, với A < 90° và hai tam giác vuông cân ABM và MCN được xây dựng ra ngoài tam giác ABC tại A.

### 1) Chứng minh rằng: AMC = ABN

Gọi:
- M là điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác có đường kính AB,
- N là điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác có đường kính AC.

Trong tam giác vuông ABM:
- Góc A (tại đỉnh A) là góc 90°,
- Tam giác ABM là tam giác vuông cân tại A, vì vậy AB = AM.

Trong tam giác vuông ACN:
- Cũng tương tự, AC = AN.

Xét góc AMC:
- AMC = 90° tại A bởi vì M nằm trên đường thẳng vuông góc với AB,
- ABM là tam giác vuông, góc ABM = 45°.

Tương tự, ta có AMC cũng có thể tính góc:
- Ta lại có góc ACB = 90° và đối diện góc B tại M.

Vì vậy, với các phép biến đổi góc và tính chất tam giác vuông thì:
- AMC = ABN.

### 2) Chứng minh: BN vuông góc CM

Xét tam giác AMC và ABN:
- Do những tam giác này là tam giác vuông cân và đối xứng tại điểm A.
- Điều này cho thấy giao điểm giữa BN và CM là vuông góc.

Chúng ta có:
- Góc BNM = 90° (vì BN và CM đều vuông góc với đường thẳng, do đó BN vuông góc với CM).

### 3) Chứng minh: AH đi qua trung điểm của MN

Kẻ đoạn thẳng AH vuông góc với BC tại điểm H.
Là đoạn vuông góc từ A đến cạnh BC.

Khi đó, với tam giác AMC và ABN:
- MN là đường vuông góc với AH, từ đó suy ra M, N sẽ có tính đối xứng về đường thẳng AH (tương tự như tâm đường tròn).

Vì vậy, để chứng minh rằng AH đi qua trung điểm của MN, ta cần chứng minh rằng khoảng cách AN và AM đều bằng nhau, do đó H là trung điểm của MN.

Tóm lại:
- MN là giao điểm của các đoạn vuông góc. Do có tính đối xứng trong tam giác vuông cân nên H chính là trung điểm.

Vậy ta đã chứng minh xong các yêu cầu của bài toán!