Chúng ta sẽ giải từng bài toán một.

### Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên \( n \) để phân số \( \frac{n+1}{n-2} \) có giá trị là số nguyên.

Để phân số \( \frac{n+1}{n-2} \) có giá trị là số nguyên, mẫu số \( n-2 \) phải chia hết cho tử số \( n+1 \). Điều này có thể diễn đạt bằng phương trình:
\[
n + 1 = k(n - 2) \quad \text{với } k \text{ là số nguyên.}
\]
Giải phương trình này cho \( n \):
\[
n + 1 = kn - 2k \Rightarrow n - kn = -2k - 1 \Rightarrow n(1 - k) = -2k - 1 \Rightarrow n = \frac{-2k - 1}{1 - k}.
\]
Bây giờ, điều kiện \( 1 - k \neq 0 \) (tức là \( k \neq 1 \)) là cần thiết để mẫu không bằng 0.

Ta sẽ xem các giá trị khác nhau của \( k \):

- Nếu \( k = 0 \), ta có:
\[
n = \frac{-2(0) - 1}{1 - 0} = -1.
\]
- Nếu \( k = -1 \), ta có:
\[
n = \frac{-2(-1) - 1}{1 - (-1)} = \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2} \quad \text{(không phải số nguyên)}.
\]
- Nếu \( k = 2 \), ta có:
\[
n = \frac{-2(2) - 1}{1 - 2} = \frac{-4 - 1}{-1} = 5.
\]
- Nếu \( k = 3 \), ta có:
\[
n = \frac{-2(3) - 1}{1 - 3} = \frac{-6 - 1}{-2} = \frac{7}{2} \quad \text{(không phải số nguyên)}.
\]

Quá trình này có thể tiếp tục cho những giá trị khác nhưng mục tiêu chính là tìm các giá trị mà \( n \) là số nguyên. Ta tìm và kiểm tra các giá trị của \( k \) khác nhau từ 0 đến 2.

Kết luận cho bài này, \( n \) là số nguyên cho \( n = -1 \) và \( n = 5 \).

### Bài 2: Cho \( A = \frac{n-1}{n} = 4 \). Tìm \( n \in \mathbb{Z} \) để \( A \) là số nguyên.

Giải phương trình:
\[
\frac{n-1}{n} = 4 \Rightarrow n - 1 = 4n \Rightarrow n - 4n = 1 \Rightarrow -3n = 1 \Rightarrow n = -\frac{1}{3} \quad \text{(không phải số nguyên)}.
\]

Vì vậy không có giá trị nào cho \( n \) khiến \( A \) là số nguyên trong bài này.

### Bài 3: Tìm \( n \in \mathbb{Z} \) để phân số \( \frac{4n + 5}{2n - 1} \) có giá trị là số nguyên.

Phân số \( \frac{4n + 5}{2n - 1} \) là số nguyên khi mẫu số \( 2n - 1 \) chia hết cho tử số \( 4n + 5 \). Tức là tồn tại số nguyên \( k \):
\[
4n + 5 = k(2n - 1).
\]
Giải phương trình này:
\[
4n + 5 = 2kn - k \Rightarrow 4n - 2kn = -k - 5 \Rightarrow n(4 - 2k) = -k - 5 \Rightarrow n = \frac{-k - 5}{4 - 2k}.
\]

Điều kiện để \( 4 - 2k \neq 0 \) (tức là không cho \( k = 2 \)).

Ta thử với các giá trị khác nhau của \( k \):

- Nếu \( k = 0 \):
\[
n = \frac{-0 - 5}{4 - 0} = -\frac{5}{4} \quad \text{(không phải số nguyên)}.
\]
- Nếu \( k = 1 \):
\[
n = \frac{-1 - 5}{4 - 2} = \frac{-6}{2} = -3.
\]
- Nếu \( k = 3 \):
\[
n = \frac{-3 - 5}{4 - 6} = \frac{-8}{-2} = 4.
\]

Do đó, chúng ta có hai kết quả thoả mãn là \( n = -3 \) và \( n = 4 \).

### Tổng kết
- Bài 1: \( n = -1, 5 \)
- Bài 2: Không có số nguyên nào.
- Bài 3: \( n = -3, 4 \)