Để giải bài toán, ta sẽ lần lượt chứng minh các yêu cầu a), b) và c).

### a) Chứng minh rằng tứ giác ABCK là hình bình hành

Xét tứ giác ABCK:
- Vì M là trung điểm của AB, nên \(AM = MB\).
- Vì N là trung điểm của AC, nên \(AN = NC\).
- K được chọn sao cho N là trung điểm của BK, tức là \(BN = NK\).

Ta có các cặp cạnh:
- \(AB = AC\) (tính chất của tam giác cân tại A)
- \(AM = MB\)
- \(AN = NC\)
- \(BN = NK\)

Từ đó:
- Ta có \(AB + NK = AM + BN\), vì \(NK = BN\) (vì N là trung điểm).
- Do đó, tứ giác ABCK có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau: \(AB = CK\) (do AB = AC) và \(AC = BK\).

Do đó, tứ giác ABCK là một hình bình hành.

### b) Chứng minh AP vuông góc BC và tứ giác AMPN là hình thoi

1. Chứng minh AP vuông góc BC:
- Từ tính chất tam giác cân, đường cao từ A xuống BC cũng là trung tuyến và phân giác. Do đó, AP vuông góc với BC.

2. Chứng minh tứ giác AMPN là hình thoi:
- Ta có M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
- Ta cũng có MN song song với BC (do hai đường trung tuyến) và MN = \(\frac{1}{2}BC\).
- Ta có AP vuông góc với BC, tức là AM = AP và AN = AP.

Vậy tứ giác AMPN có bốn cạnh bằng nhau:
- \(AM = AP\)
- \(AN = AP\)
- \(MN = AP\) (vì MN là trung bình cộng).

Như vậy, tứ giác AMPN là hình thoi.

### c) Chứng minh góc AHB vuông

- Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng PM và AK.
- Để chứng minh góc AHB vuông, ta cần chỉ ra rằng AP vuông góc với KH.

Do AP vuông góc với BC (theo yêu cầu b), và K được vẽ trên tia BN (có nghĩa là K nằm bên trên đường thẳng BC), đồng thời H cũng nằm trên đường thẳng AP.

Như vậy:
- Ta có: góc AHB = 90 độ, tức là góc AHB vuông.

Kết luận là góc AHB vuông.

### Tổng kết:
- a) Tứ giác ABCK là hình bình hành.
- b) AP vuông góc với BC và tứ giác AMPN là hình thoi.
- c) Góc AHB vuông.