Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) . Gọi m là trung điểm BC. Trên tia đối của tia MA lấy N sao cho MN = MB. Chứng minh tứ giác ABNC là hình chữ nhật. Trên tia AB lấy điểm K sao cho B là trung điểm của AK. Chứng minh BKNC là hình bình hành. KM cắt BN tại O. Chứng minh KO = 2O,

Chúng ta sẽ chứng minh lần lượt các phần của bài toán.

### a) Chứng minh tứ giác ABNC là hình chữ nhật

1. **Xác định các điểm**: Ta có tam giác ABC vuông tại A với AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. Ta có MA là tia đối của MA, và N được xác định sao cho MN = MB.

2. **Chứng minh AB // NC**:
- Ta có MA = MB (do M là trung điểm).
- Do N nằm trên tia đối của MA và MN = MB, nên góc ANM = góc ABM (do MA // NC).
- Vậy tứ giác ABNC là hình chữ nhật.

3. **Chứng minh AN = BC**:
- Vì N được xác định sao cho MN = MB trong một hệ tọa độ vuông góc, thì AN vuông góc với NC (là một cạnh).
- Vậy ABNC là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh BKNC là hình bình hành

1. **Xác định điểm K**: Ta có điểm K nằm trên tia AB, sao cho B là trung điểm của AK.

2. **Chứng minh BK = CN**:
- Vì B là trung điểm của AK, ta có AB = BK — tương tự, N là điểm được xác định có tính chất đối xứng qua M về B.

3. **Chứng minh BN = CK**:
- Từ mối quan hệ giữa các điểm B, K, C và N, ta có thể chỉ ra rằng K và N nằm trên một đường chéo vuông góc với nhau, dẫn đến BKNC là hình bình hành.

### c) Chứng minh KO = 2O

1. **Gọi O là điểm giao của KM và BN**: Nằm giữa BK và NC.

2. **Chứng minh KO = 2O**:
- Nếu K là tại điểm 2K gây ra lực cân bằng tại O.
- Khi KM cắt BN, mỗi bên có tác động đưa O ra ngoài trung điểm, vì vậy phải có độ dời KO = 2O.

Tóm lại, ở mỗi phần của bài toán, chúng ta đã chứng minh rằng tứ giác ABNC là hình chữ nhật, BKNC là hình bình hành, và điều kiện của O thỏa mãn tính chất KO = 2O.