Dưới đây là hướng dẫn giúp bạn chứng minh các bài tập trong tài liệu:

### Bài 1:
Cho hình thang \( ABCD \) có \( AB \parallel CD \) và \( AB < CD \). Gọi \( O \) là giao điểm của hai đường chéo \( BD \) và \( AC \). Từ O, kẻ đường thẳng song song với hai đáy \( AB, CD \) lần lượt tại \( M, N \).

**a)** Chứng minh \( \frac{DM}{MA} = \frac{CN}{NB} = \frac{DC}{AB} \):
- Sử dụng tính chất của hình thang và các tam giác đồng dạng. Gọi \( x \) là độ dài \( AB \) và \( y \) là độ dài \( CD \). Khi đó, bạn có thể thiết lập các tỉ số bằng cách so sánh các tam giác.

**b)** Chứng minh \( OM = ON \):
- Chứng minh \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng nối \( M \) và \( N \) nhờ tính chất song song.

### Bài 2:
Cho tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \). Đường vuông góc với \( BC \) tại \( B \) cắt đường vuông góc với \( AC \) tại \( C \).

**a)** Chứng minh \( \frac{DE}{DC} = \frac{DM}{DA} \):
- Sử dụng định lý lượng giác trong tam giác vuông hoặc tính chất của các tam giác đồng dạng.

**b)** Chứng minh \( MN \parallel AB \):
- Sử dụng tính chất của các đường thẳng song song trong hình học phẳng.

**c)** Chứng minh \( ME = MB \):
- Sử dụng định lý về các đoạn thẳng trong tam giác vuông hoặc tính chất tương tự.

### Bài 3:
Cho tam giác nhọn \( ABC \), đường trung tuyến \( AM \). Điểm \( O \) bất kỳ trên đoạn \( AM \). \( F \) là giao điểm của \( BO \) và \( AC \), \( E \) là giao điểm của \( CO \) và \( AB \).

**a)** Chứng minh \( EF = HK \):
- Sử dụng định lý lượng giác và tam giác đồng dạng.

**b)** Chứng minh \( EF \parallel BC \):
- Sử dụng các tính chất về các cặp góc trong tam giác.

**c)** Chứng minh điểm \( N \) là trung điểm của \( FE \):
- Sử dụng định lý trung điểm và các đoạn thẳng.

### Bài 4:
Cho tam giác \( ABC \), kẻ đường thẳng song song với \( BC \) cắt \( AB \) tại \( D \) và cắt \( AC \) tại \( E \). Gọi \( H \) là giao điểm của \( AC \) và \( BG \).

**a)** Chứng minh \( DA = EG = DB - DE \):
- Sử dụng định lý tỉ lệ trong tam giác và các đoạn thẳng.

**b)** Chứng minh \( HC^2 = HE \cdot HA \):
- Sử dụng các tính chất về đoạn thẳng và giải tam giác.

Hy vọng rằng các hướng dẫn trên có thể giúp bạn hoàn thành các bài tập này!