Để chứng minh các kết luận trong bài toán trên, chúng ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

### a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.

1. **Xác định tọa độ:**
- Giả sử \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(0, b) \), với \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- Tọa độ \( M \) sẽ là \( M\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right) \).

2. **Tính vị trí H:**
- \( MH \) vuông góc với \( AC \) tức là \( H \) nằm trên đường thẳng \( AC \) và sẽ có tọa độ dạng \( H(0, h) \).

3. **Tính vị trí D:**
- Chọn điểm \( D \) trên tia \( HM \) sao cho \( HM = MD \). Do đó, \( MD \) cũng sẽ có tọa độ cụ thể.

4. **Chứng minh:**
- Tứ giác là hình bình hành nếu hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.
- Lập phương trình khoảng cách giữa các cặp đỉnh (ví dụ: \( BH \), \( CD \)). Do \( M \) là trung điểm, \( BH \parallel CD \).

### b) Chứng minh tứ giác ABDH là hình chữ nhật.

1. **Kiểm tra các góc:**
- \( AB \perp AD \) vì \( AB \) là cạnh của tam giác vuông.
- \( AH \perp BD \) do \( MH \perp AC \).

2. **Kết luận:**
- Nếu cả hai cặp cạnh là vuông góc thì tứ giác đó là hình chữ nhật.

### c) Chứng minh tứ giác AMCK là hình thoi.

1. **Tính độ dài các cạnh:**
- Cần kiểm tra các cạnh \( AM \), \( MK \), \( CK \), và \( AC \).
- Nếu \( AM = MK = CK = AC \), thì tứ giác AMCK là hình thoi.

### d) Điều kiện để tứ giác AMCK là hình vuông.

1. **Góc vuông:**
- Để AMCK là hình vuông, ta cần điều kiện rằng một trong các góc như \( \angle AMK \) hoặc \( \angle AMC \) phải bằng \( 90^\circ \).
2. **Điều kiện:**
- Có thể yêu cầu tam giác ABC là tam giác vuông và cần bổ sung thêm các điều kiện về độ dài hoặc góc giữa các cạnh để đảm bảo tứ giác AMCK có đặc tính của hình vuông.

Tóm lại, chúng ta đã lần lượt chứng minh các phần của bài toán dựa vào định nghĩa và tính chất của hình học.