Để xác định tính đúng sai của các mệnh đề, ta sẽ phân tích từng mệnh đề dựa vào các thông số của hàm số bậc hai \(y = ax^2 + bx + 2\):

### Mệnh đề (a):
- Đồ thị \( (P) \) đi qua điểm \( E(-1; 5) \):
\[
5 = a(-1)^2 + b(-1) + 2 \Rightarrow 5 = a - b + 2 \Rightarrow a - b = 3.
\]
Nếu \( a - b = 4 \) thì mệnh đề này **sai**.

### Mệnh đề (b):
- Trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng \( x = 1 \):
Trục đối xứng \( x = -\frac{b}{2a} = 1 \Rightarrow -\frac{b}{2a} = 1 \Rightarrow b = -2a \).
Nếu \( 2a - b = 0 \) thì mệnh đề này **đúng**.

### Mệnh đề (c):
- Đồ thị \( (P) \) đi qua hai điểm \( M(1; 0) \) và \( N(-1; 0) \) (có nghĩa là nghiệm của phương trình bậc hai):
\[
0 = a(1)^2 + b(1) + 2 \Rightarrow 0 = a + b + 2 \Rightarrow a + b = -2.
\]
Nếu \( a + 2024b = -2 \) thì không thể có thông tin này khẳng định. Nên mệnh đề này **có thể sai**.

### Mệnh đề (d):
- Đồ thị có định nghĩa là điểm \( S\left(-\frac{1}{2}; -\frac{3}{2}\right) \):
\[
-\frac{3}{2} = a\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + b\left(-\frac{1}{2}\right) + 2 \Rightarrow -\frac{3}{2} = \frac{a}{4} - \frac{b}{2} + 2.
\]
Từ đây tính ra được \(2a + 2b = -10\), do đó \(2a + b = -5\). Nếu \(2a + b = 14\) thì mệnh đề này **sai**.

### Kết quả tổng quát:
- Mệnh đề (a): **Sai**
- Mệnh đề (b): **Đúng**
- Mệnh đề (c): **Có thể sai**
- Mệnh đề (d): **Sai**

Vậy các mệnh đề đúng hay sai là:
- (a) sai,
- (b) đúng,
- (c) có thể sai,
- (d) sai.