Để giải phương trình \( x + 10y + 2xy + 1 = 0 \), ta có thể sắp xếp lại như sau:

\[
2xy + x + 10y + 1 = 0
\]

Ta có thể viết lại phương trình theo dạng:

\[
x(2y + 1) + 10y + 1 = 0
\]

Từ đó, ta có thể giải cho \( x \):

\[
x(2y + 1) = - (10y + 1)
\]

\[
x = \frac{-(10y + 1)}{2y + 1}
\]

Để \( x \) là số nguyên, biểu thức \( \frac{-(10y + 1)}{2y + 1} \) phải là số nguyên. Điều này chỉ xảy ra khi \( 10y + 1 \) chia hết cho \( 2y + 1 \).

Ta cần tìm các giá trị nguyên của \( y \) để điều này xảy ra. Ta sẽ kiểm tra một số giá trị \( y \):

1. **Khi \( y = 0 \)**:
\[
x = \frac{-(10 \cdot 0 + 1)}{2 \cdot 0 + 1} = -1
\]
Vậy có nghiệm là \( (x, y) = (-1, 0) \).

2. **Khi \( y = 1 \)**:
\[
x = \frac{-(10 \cdot 1 + 1)}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{-11}{3} \quad (\text{k không nguyên})
\]

3. **Khi \( y = -1 \)**:
\[
x = \frac{-(10 \cdot (-1) + 1)}{2 \cdot (-1) + 1} = \frac{9}{-1} = -9
\]
Vậy có nghiệm là \( (x, y) = (-9, -1) \).

4. **Khi \( y = -2 \)**:
\[
x = \frac{-(10 \cdot (-2) + 1)}{2 \cdot (-2) + 1} = \frac{19}{-3} \quad (\text{k không nguyên})
\]

5. **Khi \( y = -3 \)**:
\[
x = \frac{-(10 \cdot (-3) + 1)}{2 \cdot (-3) + 1} = \frac{31}{-5} \quad (\text{k không nguyên})
\]

Có vẻ như mỗi khi \( y \) giảm xuống, thì mức độ khó khăn để có giá trị nguyên cho \( x \) cũng tăng lên. Bây giờ, kiểm tra với các giá trị dương nhỏ hơn.

6. **Khi \( y = 2 \)**:
\[
x = \frac{-(10 \cdot 2 + 1)}{2 \cdot 2 + 1} = \frac{-21}{5} \quad (\text{k không nguyên})
\]

7. **Khi \( y = 3 \)**:
\[
x = \frac{-(10 \cdot 3 + 1)}{2 \cdot 3 + 1} = \frac{-31}{7} \quad (\text{k không nguyên})
\]

Tiếp tục kiểm tra các giá trị dương sẽ dẫn đến các biểu thức không nguyên.

### Kết luận:

Các nghiệm nguyên của phương trình \( x + 10y + 2xy + 1 = 0 \) là:

- \( (x, y) = (-1, 0) \)
- \( (x, y) = (-9, -1) \)

Có thể có thêm nghiệm, nhưng phương pháp kiểm tra giá trị sẽ giúp mở rộng tìm kiếm cho các giá trị nguyên khác.