Để giải bài toán này, ta sẽ làm từng phần một:

### a) Chứng minh rằng: A4KM = ABKN
Để chứng minh rằng hai tứ giác A4KM và ABKN bằng nhau, ta sẽ sử dụng tính chất của các đoạn thẳng và khối lượng của các tứ giác.

1. **Gọi các điểm**:
- Gọi O là giao điểm của đường thẳng AM và đường thẳng BN.
- Xét tam giác AMN, điểm K là trung điểm của MN.

2. **Sử dụng tính chất trung điểm**:
- Vì K là trung điểm của MN nên MK = KN

3. **Xét điểm B**:
- Theo giả thiết, KB = KA và B thuộc tia đối của tia KA.
- Điều này có nghĩa là B nằm trên một đường thẳng kéo dài từ K qua A.

4. **Tốp hợp**:
- Xét các cặp đoạn thẳng của hai tứ giác:
- AK = KB (từ điều kiện đã cho)
- KM = KN (vì K là trung điểm)

Từ đó ta có thể kết luận rằng hai tứ giác A4KM và ABKN có các cạnh tương ứng bằng nhau, do đó tứ giác A4KM bằng tứ giác ABKN.

### b) Chứng minh: AN // MB
1. **Sử dụng các cặp đường thẳng song song**:
- Từ A đến B, ta có AS nằm trên đường thẳng AM.
- Vì AN // MB, có nghĩa là góc ANM bằng góc BKA.

2. **Sử dụng các góc tương ứng**:
- Nếu ta kẻ một đường thẳng từ A qua K thì góc AKM = KBM (góc đối đỉnh).
- Ta có AN là nước cùng với đường thẳng MB, vì vậy AN // MB.

Do đó, ta có thể kết luận rằng AN // MB.

### c) Kẻ KH vuông góc với AN (H ∈ AN) và KC vuông góc với MB (C ∈ MB). Chứng minh: ba điểm H, K, C thẳng hàng.
1. **Kẻ hai đường vuông góc**:
- KH vuông góc với AN có nghĩa là góc KHA = 90°.
- KC vuông góc với MB có nghĩa là góc KCB = 90°.

2. **Tính chất đồng dạng**:
- Nếu H nằm trên AN và C nằm trên MB, và nếu K nằm trên cả hai đường thẳng này, thì có thể dùng tính chất đồng dạng để chứng minh rằng ba điểm H, K, C thẳng hàng.

3. **Định nghĩa ba điểm thẳng hàng**:
- Nếu HC, HK là các góc vuông tại K từ H và C và K là giao điểm, từ các tính chất đường thẳng ta có K H C thẳng hàng.

Kết luận, H, K, C nằm thẳng hàng.

Vậy là tất cả các yêu cầu của bài toán đã được giải quyết.