Để chứng minh và phân tích các biểu thức mà bạn đã nêu, chúng ta có thể thực hiện theo hai phần khác nhau.

### Phần a: Chứng minh \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\) khi \(a + b + c = 0\)

Ta có công thức sau:

\[
a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)
\]

Khi \(a + b + c = 0\), phương trình trên sẽ trở thành:

\[
a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0
\]

Từ đó, ta suy ra:

\[
a^3 + b^3 + c^3 = 3abc
\]

### Phần b: Phân tích đa thức \((x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3\)

Ta sẽ áp dụng công thức các bạn có thể tìm thấy để phân tích:

\[
u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw = (u+v+w)(u^2 + v^2 + w^2 - uv - vw - wu)
\]

Ở đây, đặt \(u = (x - y)\), \(v = (y - z)\), và \(w = (z - x)\):

\[
u + v + w = (x - y) + (y - z) + (z - x) = 0
\]

Khi \(u + v + w = 0\), ta có:

\[
u^3 + v^3 + w^3 = 3uvw
\]

Vì vậy:

\[
(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 = 3(x - y)(y - z)(z - x)
\]

Kết luận, chúng ta đã chứng minh và phân tích được hai biểu thức.

- Với điều kiện \(a + b + c = 0\), thì \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\).
- Đối với đa thức, ta có \((x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 = 3(x-y)(y-z)(z-x)\).