Để giải quyết bài toán này, hãy chia thành hai phần theo yêu cầu:

### Phần 1:

Cho hình bình hành \(ABCD\). Đặt các điểm như sau:
- \(M\) là điểm giữa của \(A\) và \(B\), tức là \(M = \frac{A + B}{2}\).
- \(N\) là điểm nằm giữa \(C\) và \(D\) sao cho \(AM = CN\). Điều này nghĩa là đoạn \(AM\) có độ dài bằng đoạn \(CN\).

Hãy chứng minh tứ giác \(AMCN\) là hình bình hành.

**Chứng minh tứ giác \(AMCN\) là hình bình hành:**
- \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AM = MB\).
- \(N\) là điểm giữa \(C\) và \(D\) nên \(CN = ND\).

Ta có:
1. \(AM = MB\) (vì \(M\) là trung điểm).
2. \(CN = ND\) (vì \(N\) là trung điểm).

Ta cũng có điều kiện \(AM = CN\). Kết hợp ba điều trên, ta suy ra:
\[
AM = CN \quad \text{ và } \quad MB = ND.
\]

Như vậy, ta có:
\[
AM = CN \quad \text{ và } \quad MB = ND.
\]

Theo tính chất của hình bình hành, nếu có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau thì tứ giác đó là hình bình hành. Vậy tứ giác \(AMCN\) là hình bình hành.

**Chứng minh ba điểm \(B, I, D\) thẳng hàng:**

Gọi \(I\) là giao điểm của \(MN\) và \(AC\). Ta có:
- \(M\) và \(N\) nằm giữa \(AB\) và \(CD\), và \(I\) là giao điểm của hai đoạn thẳng.
- Do \(AC\) là đường chéo của hình bình hành \(ABCD\) và có tính chất là đường phân chia tứ giác thành hai hình tam giác bằng nhau, nên tại điểm \(I\), \(B\), và \(D\) phải thẳng hàng.

Vì vậy, ba điểm \(B, I, D\) thẳng hàng.

### Phần 2:

Để xác định khoảng cách giữa hai vị trí \(B\) và \(E\), ta sử dụng các thông tin đã cho.

- Theo đề bài, có ba điểm \(A, F, C\) thẳng hàng và \(AB \parallel EF\).
- Ta có \(AF = 40m\), \(FC = 20m\), và chiều dài \(EC\) = 30m.

Giả sử \(K\) là giao điểm của đường thẳng nối \(B\) và \(E\). Do \(B, C, E\) thẳng hàng, có nghĩa là:
\[
BE + EC = BC.
\]

Ta có:
- \(AC = AF + FC = 40m + 20m = 60m\).
- Chiều dài \(BC = BE + EC = BE + 30m\).

Vì \(AB \parallel EF\), sử dụng định lý Thales trong hình bình hành \(ABCD\):
\[ BE = \frac{AC}{AF} \times EC \]

Tính toán:
\[
BE = \frac{60m}{40m} \times 30m = 1.5 \times 30m = 45m.
\]

Vậy khoảng cách giữa hai vị trí \(B\) và \(E\) là \(BE = 45m\).