Để chứng minh rằng \( n^3 - 3n^2 + 2n \) chia hết cho 24 với mọi \( n \) chẵn, ta sẽ bắt đầu với việc viết biểu thức này lại theo một cách dễ xử lý hơn.

Giả sử \( n = 2k \), với \( k \) là một số nguyên. Khi đó, ta có:
\[
n^3 = (2k)^3 = 8k^3,
\]
\[
3n^2 = 3(2k)^2 = 12k^2,
\]
\[
2n = 2(2k) = 4k.
\]

Thay các giá trị này vào biểu thức \( n^3 - 3n^2 + 2n \):
\[
n^3 - 3n^2 + 2n = 8k^3 - 12k^2 + 4k.
\]

Kết hợp các hạng tử lại:
\[
= 4k(2k^2 - 3k + 1).
\]

Từ đây, ta thấy rằng \( n^3 - 3n^2 + 2n \) có dạng \( 4k(2k^2 - 3k + 1) \), do đó nó chia hết cho 4.

### Bước tiếp theo: Chứng minh chia hết cho 6

Chúng ta cần chứng minh rằng \( 2k^2 - 3k + 1 \) chia hết cho 6, hoặc ít nhất là chia hết cho 2 và 3.

1. **Chia hết cho 2**:
\[
2k^2 - 3k + 1 \quad \text{(bất kỳ $k$ nào)}
\]
- Nếu \( k \) chẵn: \( k = 2m \rightarrow 2(2m)^2 - 3(2m) + 1 = 8m^2 - 6m + 1 \) (số lẻ).
- Nếu \( k \) lẻ: \( k = 2m + 1 \rightarrow 2(2m + 1)^2 - 3(2m + 1) + 1 \) (số chẵn).

Vậy \( 2k^2 - 3k + 1 \) có thể nhận giá trị chẵn hoặc lẻ, nhưng không ảnh hưởng đến yếu tố chia hết cho 2 trong tổng thể, vì \( 4k \) đã có trong biểu thức.

2. **Chia hết cho 3**:
Xét \( k \mod 3 \):
- Nếu \( k \equiv 0 \mod 3 \): \( 2(0)^2 - 3(0) + 1 \equiv 1 \mod 3 \).
- Nếu \( k \equiv 1 \mod 3 \): \( 2(1)^2 - 3(1) + 1 = 2 - 3 + 1 \equiv 0 \mod 3 \).
- Nếu \( k \equiv 2 \mod 3 \): \( 2(2)^2 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 \equiv 3 \equiv 0 \mod 3 \).

Do đó, \( 2k^2 - 3k + 1 \equiv 0 \mod 3 \) với ít nhất một trong ba trường hợp.

### Kết luận

Từ hai phần trên, chúng ta có \( n^3 - 3n^2 + 2n \) chia hết cho \( 4 \times 6 = 24 \). Do đó:
\[
n^3 - 3n^2 + 2n \text{ chia hết cho } 24 \text{ với mọi } n \text{ chẵn.}
\]