Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một dựa trên các thông tin đã cho.

#### a) \( AB - CA = a^2 \)

- \( AB \) và \( CA \) đều bằng \( a \) (cạnh hình vuông). Vậy:
\[
AB - CA = a - a = 0 \quad \text{( không bằng } a^2 \text{, } a^2 > 0)
\]
- **Kết luận:** Sai.

#### b) \( AM \cdot AC = \frac{a^2}{3} \)

- \( AM = \frac{a}{2} \) (M là trung điểm của AB) và \( AC = a \). Vậy:
\[
AM \cdot AC = \frac{a}{2} \cdot a = \frac{a^2}{2} \quad \text{( không bằng } \frac{a^2}{3})
\]
- **Kết luận:** Sai.

#### c) \( AD - BD + OM - AC = a^2 \)

- \( AD = a \), \( BD = \frac{a}{2} \) (B là trung điểm của CD), \( OM = \frac{a}{\sqrt{2}} \) (độ dài từ O đến M), \( AC = a \). Ta có:
\[
AD - BD + OM - AC = a - \frac{a}{2} + \frac{a}{\sqrt{2}} - a
\]
Kết quả này không bằng \( a^2 \) mà chỉ là một số thực.
- **Kết luận:** Sai.

#### d) \( (AB + AD)(BD + BC) = a^2 \)

- \( AB = a \), \( AD = a \), \( BD = \frac{a}{2} \), \( BC = a \). Vậy:
\[
(AB + AD)(BD + BC) = (a + a)\left(\frac{a}{2} + a\right) = (2a)\left(\frac{3a}{2}\right) = 3a^2 \quad \text{(không bằng } a^2)
\]
- **Kết luận:** Sai.

### Tóm lại:
- a) Sai
- b) Sai
- c) Sai
- d) Sai