Để kiểm tra các mệnh đề trong câu hỏi này, chúng ta sẽ phân tích từng mệnh đề một cách cẩn thận.

**1. Mệnh đề a: \( AB - CA = a^2 \)**
- Ta có \( AB = a \) và \( CA = a \).
- Do đó, \( AB - CA = a - a = 0 \), không phải \( a^2 \).
=> Mệnh đề này **sai**.

**2. Mệnh đề b: \( AM \cdot AC = \frac{a^2}{3} \)**
- \( M \) là trung điểm của \( AB \) nên \( AM = \frac{a}{2} \) và \( AC = a \).
- Vậy \( AM \cdot AC = \frac{a}{2} \cdot a = \frac{a^2}{2} \), không phải \( \frac{a^2}{3} \).
=> Mệnh đề này **sai**.

**3. Mệnh đề c: \( AD \cdot BD + OM \cdot AC = \frac{a^2}{2} \)**
- \( AD = a \), \( BD = a \) và \( OM = \frac{a}{2} \).
- \( AD \cdot BD = a \cdot a = a^2 \) và \( OM \cdot AC = \frac{a}{2} \cdot a = \frac{a^2}{2} \).
- Tổng cộng \( a^2 + \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{2} \), không phải \( \frac{a^2}{2} \).
=> Mệnh đề này **sai**.

**4. Mệnh đề d: \( (AB + AD)(BD + BC) = a^2 \)**
- \( AB + AD = a + a = 2a \) và \( BD + BC = a + a = 2a \).
- Tính tổng: \( (2a)(2a) = 4a^2 \), không phải \( a^2 \).
=> Mệnh đề này **sai**.

Tóm lại:
- Tất cả các mệnh đề: a, b, c, và d đều **sai**.