Để giải bài toán, trước tiên ta cần hiểu điều kiện đã cho: biểu thức \(2x + 1\) chia hết cho \(x - 2\) và \(x < 2\).

Ta có thể viết điều kiện chia hết như sau:

\[
2x + 1 = k(x - 2)
\]

với \(k\) là một số nguyên nào đó.

Mở rộng phương trình:

\[
2x + 1 = kx - 2k
\]

Chuyển tất cả về một phía, ta có:

\[
2x - kx + 2k + 1 = 0
\]

sắp xếp lại, ta được:

\[
(2 - k)x + (2k + 1) = 0
\]

Từ phương trình trên, chúng ta cần tìm \(x\). Để \(x\) là một số nguyên, điều kiện để phương trình có nghiệm là \(2 - k \neq 0\). Khi đó, ta có:

\[
x = \frac{-(2k + 1)}{(2 - k)}
\]

Tính giá trị \(x\) cho \(x < 2\). Ta sẽ thử nghiệm với các giá trị nguyên của \(k\).

1. **Nếu \(k = 1\):**

\[
x = \frac{-(2 \cdot 1 + 1)}{(2 - 1)} = \frac{-3}{1} = -3
\]

2. **Nếu \(k = 2\):**

\[
x = \frac{-(2 \cdot 2 + 1)}{(2 - 2)} \quad \text{(không hợp lệ vì chia cho 0)}
\]

3. **Nếu \(k = 0\):**

\[
x = \frac{-(2 \cdot 0 + 1)}{(2 - 0)} = \frac{-1}{2} \quad \text{(không phải là số nguyên)}
\]

4. **Nếu \(k = -1\):**

\[
x = \frac{-(2 \cdot (-1) + 1)}{(2 - (-1))} = \frac{-( -2 + 1)}{(2 + 1)} = \frac{-(-1)}{3} = \frac{1}{3} \quad \text{(không phải là số nguyên)}
\]

5. **Nếu \(k = -2\):**

\[
x = \frac{-(2 \cdot (-2) + 1)}{(2 - (-2))} = \frac{-(-4 + 1)}{(2 + 2)} = \frac{-(-3)}{4} = \frac{3}{4} \quad \text{(không phải là số nguyên)}
\]

6. **Tìm thêm giá trị cho \(k\):**

Tiếp tục thử với \(k = 3\):

\[
x = \frac{-(2 \cdot 3 + 1)}{(2 - 3)} = \frac{-7}{-1} = 7 \quad \text{(không thỏa mãn \(x < 2\))}
\]

Tiếp tục cho các giá trị âm:

- Nếu \(k = -3\):

\[
x = \frac{-(2 \cdot (-3) + 1)}{(2 - (-3))} = \frac{-(-6 + 1)}{5} = \frac{5}{5} = 1
\]

Kết quả tìm được là \(x = -3\) và \(x = 1\) đều là số nguyên. Tuy nhiên \(x\) thỏa mãn điều kiện \(x < 2\) sẽ có nghiệm số nguyên là:

\[
\boxed{-3}
\]