Để chứng minh đường tròn đường kính \(BC\) tiếp xúc với \(MN\) tại điểm \(A\) trong tam giác vuông \(ABC\) với \(A\) là góc vuông và \(H\) là chân đường cao từ \(A\) đến \(BC\), chúng ta thực hiện theo các bước sau:

1. **Xác định cấu trúc hình học**:
- Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
- \(H\) là chân đường cao từ \(A\) đến \(BC\).
- Điểm \(M\) là đối xứng của \(H\) qua đường thẳng \(AB\), và điểm \(N\) là đối xứng của \(H\) qua đường thẳng \(AC\).

2. **Mối liên hệ giữa các điểm**:
- Trong tam giác vuông, \(AH\) là đường cao, do đó \(H\) chia cạnh \(BC\) thành hai đoạn \(BH\) và \(HC\).
- Khi \(H\) đối xứng qua \(AB\), ta tính được toạ độ của \(M\). Tương tự, ta tính được toạ độ của \(N\) khi đối xứng qua \(AC\).

3. **Lập phương trình đường thẳng \(MN\)**:
- Tìm toạ độ điểm \(M\) và \(N\), từ đó lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm này.

4. **Xét đường tròn đường kính \(BC\)**:
- Đường tròn đường kính \(BC\) có tâm là trung điểm \(O\) của đoạn \(BC\) và bán kính là \(\frac{1}{2}BC\).
- Đường tròn này có phương trình có thể được xác định từ toạ độ của \(B\) và \(C\).

5. **Kiểm tra tính tiếp xúc**:
- Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(MN\) bằng bán kính của đường tròn đó sẽ chứng minh rằng đường tròn tiếp xúc với đường thẳng \(MN\) tại điểm \(A\).
- Sử dụng công thức khoảng cách giữa một điểm và một đường thẳng để kiểm tra.

6. **Kết luận**:
- Qua các bước chứng minh trên, ta có thể khẳng định rằng đường tròn đường kính \(BC\) tiếp xúc với đường thẳng \(MN\) tại điểm \(A\).

Như vậy, ta đã chứng minh được yêu cầu bài toán.