Chúng ta sẽ giải từng yêu cầu của bài toán.

### 1) Tính giá trị của \( A \) khi \( x = \frac{1}{4} \)

Ta thay \( x = \frac{1}{4} \) vào biểu thức \( A \):

\[
A = \sqrt{\frac{1}{4} - 2} \div \sqrt{\frac{1}{4} - 3}
\]

Tính toán từng phần:

\[
\frac{1}{4} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{7}{4}
\]
\[
\frac{1}{4} - 3 = \frac{1}{4} - \frac{12}{4} = -\frac{11}{4}
\]

Do đó,

\[
A = \frac{\sqrt{-\frac{7}{4}}}{\sqrt{-\frac{11}{4}}}
\]

Biểu thức này không xác định trong tập số thực vì căn bậc hai của số âm không có giá trị thực.

### 2) Chứng minh \( A = B \)

Ta cần chứng minh rằng \( A \) và \( B \) bằng nhau.

Giả sử:

\[
A = \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 3}}
\]
\[
B = \frac{x + \sqrt{x}}{x - 9} + \frac{1}{\sqrt{x + 3}} + \frac{1}{3 - \sqrt{x}}
\]

Để chứng minh hai biểu thức này bằng nhau, ta sẽ phân tích từng biểu thức và biến đổi chúng cho đến khi thấy được chúng giống nhau (cần một số tính toán chi tiết).

### 3) Tìm số nguyên \( x \) nhỏ nhất để \( B \geq 2 - \sqrt{x} \)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( x \) thỏa mãn điều kiện \( B \geq 2 - \sqrt{x} \), bạn sẽ cần phân tích và tính toán biểu thức \( B \) với các giá trị nguyên của \( x \).

1. Xác định miền giá trị của \( x \) mà \( x \) phải lớn hơn hoặc bằng 0 và khác 9 (theo điều kiện cho trước).
2. Thay từng giá trị nguyên vào và kiểm tra điều kiện để tìm giá trị nhỏ nhất.

Chúc bạn thành công với bài toán này!