Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Gọi P là điểm thuộc cạnh SC sao cho PC = 2PS và mặt phẳng (MNP) tạo với mặt phẳng đáy một góc cos α = 1/3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) và hình chóp S.ABCD

Để giải bài toán, ta thực hiện các bước sau:

1. **Cấu trúc hình chóp**: Đặt tọa độ cho các điểm:
- A(0, 0, 0)
- B(a, 0, 0)
- C(a, a, 0)
- D(0, a, 0)
- S(a/2, a/2, h) (h là chiều cao của hình chóp)

2. **Tìm tọa độ điểm M và N**:
- M là trung điểm AB: \( M\left(\frac{a}{2}, 0, 0\right) \)
- N là trung điểm AD: \( N\left(0, \frac{a}{2}, 0\right) \)

3. **Tọa độ điểm P**:
- Gọi tọa độ của P là \( P\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, z\right) \).
- Vì \( PC = 2PS \) và điểm S gần C hơn P, ta có thể dùng đoạn thẳng SC để tính z:
- Tính chiều dài SC và PS trong đó z cân bằng.

4. **Tính góc giữa mặt phẳng (MNP) và mặt phẳng đáy**:
- Xác định vector pháp tuyến của mặt phẳng (MNP).
- Chọn hai vector trong mặt phẳng: \( \overrightarrow{MN} \) và \( \overrightarrow{MP} \).
- Tính tích có hướng để tìm vector pháp tuyến.

5. **Tính giá trị cosin của góc α = 1/3**:
- Từ cos θ = \(\frac{|\vec{N}|}{\sqrt{N_x^2 + N_y^2 + N_z^2}}\), tìm chiều cao h.

6. **Tính diện tích thiết diện**:
- Diện tích thiết diện hình thành bởi mặt phẳng (MNP) với đáy là hình thang hay tam giác tùy thuộc vào tọa độ P.
- Dùng công thức diện tích tam giác để tìm.

Kết quả sẽ cho biết diện tích thiết diện yêu cầu. Tùy thuộc vào các giá trị cụ thể cho a và chiều cao h mà bạn chọn, bạn có thể tính diện tích cụ thể.